Encadrer une fonction 1ere S

[liloh]

Bonjour à tous ! Je bloque sur un exercice que j'ai à faire pendant les vacances.. Voici l'intitulé :

G est la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infini[ par g(x) = cos x/ (x-1).

a) Démontrer que pour tout nombre réel x>1, -(1/x-1) plus petit ou égal à g(x) plus petit ou égal à 1/x-1.

b) En déduire un nombre réel A tel que pour tout nombre réel x>A, -0.01 plus petit ou égal à g(x) lui même plus petit ou égal à 0.01.

C'est là que ça devient drôle.. Voici mes réponses (que je pense fausses, surtout la b où je bloque complétement)
a) Cos x est forcement situé [-1;1] quelque soit la valeur de x. Comme x sera le même nombre pour g(x), -(1/x-1) et 1/x-1, g(x) est au minimum de -(1/x-1) et au maximum de 1/x-1.

Donc, -(1/x-1) plus petit ou égal à g(x) plus petit ou égal à 1/x-1.

Pour la b, j'ai mis : x>A, 0.01 plus petit ou égal à g(x) plus petit ou égal à 0.01

-(1/x-1) = -(1/101-1) = -0.01

1/x-1 = 1/(101-1) = 0.01
Donc, le réel A est de 101 pour que tout nombre réel x>A , 0.01 plus petit ou égal à g(x) plus petit ou égal à 0.01

Voilà voilà.. Je pense très honnêtement que c'est faux.. J'ai passé un temps fou dessus et pourtant je ne trouve rien du tout.

Merci d'avance pour vos réponses et bonne après-midi ! :happy3:

[MacManus]

Bonjour,

a)
Pour tout x réel et en particulier pour tout x>1 on a : -1 ;) cos(x) ;) 1
Une méthode simple consiste à étudier le signe de g(x) + 1/(x-1) puis celui de g(x) - 1/(x-1) et tu obtiens le résultat

Sinon, dire que -1 ;) cos(x) ;) 1 , c'est dire que |cos(x)|;) 1
Ainsi |g(x)| = |cos(x)| / |x-1| = |cos(x)| / (x-1) (car x>1 signifie x-1>0)
Donc |g(x)| ;) 1/(x-1)
Ce qui donne la double inégalité voulue.

[HighlightReel]

Suffit de partir de -1 ;) cos(x) ;) 1 et de diviser le tout par x-1 car pour tout x> 1, x-1 > 0.
Pour le B tu résous -1/x-1 > -0,01 et réciproquement pour l'autre borne.

[liloh]

MacManus j'ai compris la seconde partie de ta réponse, mais pas la première... Je sais étudier le signe d'une fonction mais avec cos(x) je bloque..


HighlightReel : Pour la a c'est bon (même réponse que la seconde partie de la réponse de MacManus)

Je trouve 99x, mais je pensais que A etait un nombre précis et non un intervalle entre 99 et 101 :S
Je ne comprends pas cette démarche de calculer 1/x-1 > 0.01 et -1/x-1 < -0.01, comment arriver à ce raisonnement ?

[HighlightReel]

Tu t'es trompé dans le sens des inégalités.

[liloh]

Ah.. Pourtant pour -1/x-1 > 0.01 à la fin j'ai changé le sens puisque quand on multiplie les 2 membres d'une inéquation par un nombre négatif l'inégalité change de sens (je n'écris que la fin de l'inéquation)
y=-0,99/-0.01 > -0.01x/ -0.01
y= 99
Et pour 100, j'ai fais pareil qu'avec -1/x-1>-0.01 en modifiant en
y= 1/x-1>0.01
y=1>0.01(x-1)
y= 1> 0.01x -0.01
y= 1.01/0.01 > 0.01x/0.01
y= 101>x

Désolée mais comme je n'ai pas compris ta démarche, je ne vois pas où j'ai fais une erreur (hormis une erreur dans l'inéquation que je n'ai surement pas vu) pourrais-tu m'expliquer s'il te plait?

[liloh]

Je me permets un petit up , je n'ai pas trop compris certaines notions ^^ (je cite les réponses de ceux qui m'ont répondu)

pour le petit a,Macmanus m'a dit : "Pour tout x réel et en particulier pour tout x>1 on a : -1 ;) cos(x) ;) 1
Une méthode simple consiste à étudier le signe de g(x) + 1/(x-1) puis celui de g(x) - 1/(x-1) et tu obtiens le résultat".

Je ne sais pas comment determiner le signe avec cos x (sans m'aider de la calculatrice bien sur, j'ai rentré les deux fonctions sur le graphique et je ne comprends pas vraiment comment trouver le résultat..)

Et pour la b je ne comprends pas non plus la démarche de HighlightReel et où j'ai fais mon erreur dans les inéquations :s

Merci d'avance à ceux qui me répondront et désolée du dérangement ^^

[zygomatique]

Je me permets un petit up , je n'ai pas trop compris certaines notions ^^ (je cite les réponses de ceux qui m'ont répondu)

pour le petit a,Macmanus m'a dit : "Pour tout x réel et en particulier pour tout x>1 on a : -1 cos(x) 1
Une méthode simple consiste à étudier le signe de g(x) + 1/(x-1) puis celui de g(x) - 1/(x-1) et tu obtiens le résultat".

Je ne sais pas comment determiner le signe avec cos x (sans m'aider de la calculatrice bien sur, j'ai rentré les deux fonctions sur le graphique et je ne comprends pas vraiment comment trouver le résultat..)

Et pour la b je ne comprends pas non plus la démarche de HighlightReel et où j'ai fais mon erreur dans les inéquations :s

Merci d'avance à ceux qui me répondront et désolée du dérangement ^^

(1)

x >1 => x - 1 > 0 => 1/(x - 1) > 0

on multiplie donc (1) par 1/(x - 1) et on a trivialement le résultat ....

[liloh]

Merci beaucoup pour ta réponse.