Récurrence - Exo 9

[Okarin]

Bonjour,

Je ne comprends pas l'essence de l'exercice de récurrence suivant :
Soit une fonction : Z. Montrer qu'il existe une suite d'entiers relatifs () telle que :
n, (n) =

Pourriez-vous svp m'expliquer en d'autres termes ce que l'exercice attend de moi ? Dans quel cas n'existerait-il pas une telle suite d'entiers relatifs ?

Merci.


P.S : savez-vous comment écrire l'ensemble Z correctement en LaTex ?

[MacManus]

Bonjour,

les coefficients binomiaux sont des entiers naturels. Puisque f est à valeurs dans , une telle suite existe. Si une telle suite n'existait pas, tu aurais une somme finie d'entiers naturels et f serait à valeurs dans

C'est ce que je dirais, mais c'est peut-être pas très rigoureux...

[zygomatique]

salut

en d'autres termes ::

pour toute fonction f : N --> Z il faut prouver qu'il existe une suite d'entiers relatifs tel que ...

et il faut utiliser la récurrence je pense pour construire au fur et à mesure cette suite ...

ainsi tu as :



donc

supposons qu'on a construit les n premiers termes de la suite .... et construisons le n+ 1-ième ...

....

[Sake]

Je proposerais de montrer que pour tout n et pour tout k plus petit que n, k parmi n est un entier (ce qui est, par définition, vrai).

[zygomatique]

Je proposerais de montrer que pour tout n et pour tout k plus petit que n, k parmi n est un entier (ce qui est, par définition, vrai).

je ne comprends pas ....



par contre pour la récurrence il suffit de connaître la relation entre C(n + 1, k) et C(n, k)

à chaque fois on a une équation du premier degré à une inconnue [/TEX]a_{n + 1}[TEX]

donc ça marche ....

[Sake]

je ne comprends pas ....

On veut que f soit à valeurs dans Z. Puisque (alpha_n) est une suite d'entiers relatifs, on a qu'à montrer que la combinaison des k parmi n est entière, cette propriété se transmettant - par linéarité de la sommation - à f(n).

[zygomatique]

On veut que f soit à valeurs dans Z. Puisque (alpha_n) est une suite d'entiers relatifs, on a qu'à montrer que la combinaison des k parmi n est entière, cette propriété se transmettant - par linéarité de la sommation - à f(n).

non on ne veut pas .... on sait que ....

ensuite ce n'est pas f qu'il faut construire à partir d'une suite c'est la suite qu'il faut construire à partir de f donnée ....

[Okarin]

Par exemple pour l'initialisation, est-ce que mon raisonnement doit ressembler à quelque chose comme ça :

PROPRIETE
P(n) : ( tel que p, (p) =

INITIALISATION
, donc il existe un entier relatif de la suite (ici ) et la propriété est bien vérifiée pour n = 0.

Comment vérifier que l'initialisation est bien vérifiée sinon ? Sur quoi s'appuyer ? C'est ça que j'ai du mal à comprendre.

[zygomatique]

Par exemple pour l'initialisation, est-ce que mon raisonnement doit ressembler à quelque chose comme ça :

PROPRIETE
P(n) : ( tel que p, (p) =

INITIALISATION
, donc il existe un entier relatif de la suite (ici ) et la propriété est bien vérifiée pour n = 0.

Comment vérifier que l'initialisation est bien vérifiée sinon ? Sur quoi s'appuyer ? C'est ça que j'ai du mal à comprendre.

non !!


supposons construits , ...,
et donc
f(p) = ... pour 0 =< p =< n

il faut alors "calculer" f(n + 1) et déterminer

donc ce n'est pas mais

...

[Okarin]

non !!


supposons construits , ...,
et donc
f(p) = ... pour 0 =< p =< n

il faut alors "calculer" f(n + 1) et déterminer

donc ce n'est pas mais

...

Sans faire de récurrence alors ?
Comment faire l'initialisation sinon ? Je ne vois toujours pas la logique.

[arnaud32]

d'ou
et on bien

[Okarin]

d'ou
et on bien

Comment peut-on conclure que et non par exemple ?

[zygomatique]

Comment peut-on conclure que et non par exemple ?

parce que toute combinaison linéaire d'entiers à coefficients entiers est entière ...



la récurrence est encore plus simple que je ne le pensais ....

[Okarin]

Donc pour être sûr d'avoir compris, je dois modifier mon initialisation d'avant :

PROPRIETE
P(n) : ( tel que p, (p) =

INITIALISATION
, donc il existe un entier relatif de la suite (ici ) et la propriété est bien vérifiée pour n = 0.

Comme ceci :

INITIALISATION
, et vu que par propriété (ci-dessus) et que , on a bien et la propriété est bien vérifiée pour n = 0.


Ca me paraît trop subtil comme changement pour paraître juste... :hein:

[zygomatique]

Donc pour être sûr d'avoir compris, je dois modifier mon initialisation d'avant :


Comme ceci :

INITIALISATION
, et vu que par propriété (ci-dessus) et que , on a bien et la propriété est bien vérifiée pour n = 0.


Ca me paraît trop subtil comme changement pour paraître juste... :hein:

voir à 14h05 .....


le problème c'est la propriété P(n) ....

[Okarin]

voir à 14h05 .....


le problème c'est la propriété P(n) ....

J'en profite alors pour reposer ma question de 14h14...

D'autre part, pouvez-vous svp m'expliquer en quoi ma propriété P(n) est fausse ?

Merci encore !

[arnaud32]

P(n) : tel que (p) =

[Razes]

@Okarin

pour écrire en taper \mathbb{Z}