Egalité dur à démontrer

[JaafarAitraf]

Bonjour,

de l'aide svp

sin(a)+sin(b)+sin(c) = 4cos(a/2)*cos(b/2)*cos(c/2)

[Sake]

Il manque une condition : a+b+c=pi.

[JaafarAitraf]

Il manque une condition : a+b+c=pi.

en effet oui

[Sake]

Alors en utilisant cos(p)cos(q)=1/2*[cos(p+q)+cos(p-q)], on a :
4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2)=2[cos((a+b)/2)+cos((a-b)/2)]*cos(c/2)

En développant, et en réutilisant l'identité du dessus, on a 2cos((a-b)/2)cos(c/2)=cos((a-b+c)/2)+cos((a-b-c)/2) et de même, 2cos((a+b)/2)cos(c/2)=cos((a+b+c)/2)+cos((a+b-c)/2)

Puisque a+b+c=pi, on a cos((a+b+c)/2)=0, cos((a+b-c)/2)=cos(pi/2 - c), cos((a-b+c)/2)=cos(pi/2 - b), cos((a-b-c)/2)=cos(pi/2 - a)

Et avec de la trigo élémentaire, tu obtiens sin(a)+sin(b)+sin(c).

Mais il doit y avoir d'autres réponses.

[MacManus]

Bonjour,

si a+b+c = pi alors on a :

sin(a) + sin(b) + sin(c) =

= sin(2.a/2) + sin(2.b/2) + sin(2.c/2)
(on a utilisé l'angle moitié)

= 2 sin[(a+b)/2] cos[(a-b)/2] + 2 sin(c/2) cos(c/2)
(on a utilisé sin(p)+sin(q)=2 sin((p+q)/2)cos((p-q)/2) et sin(2x)=2sin(x)cos(x))

= 2 sin[(a+b)/2] cos[(a-b)/2] + 2 sin[pi/2 -(a+b)/2] cos[pi/2 -(a+b)/2]
(on a utilisé le fait que c= pi-(a+b))

= 2 sin[(a+b)/2] cos[(a-b)/2] + 2 cos[(a+b)/2] sin[(a+b)/2]
(on a utilisé sin(pi/2 -x)= cos(x) et cos(pi/2 -x) = sin(x))

= 2 sin[(a+b)/2] ( cos[(a-b)/2] + cos[(a+b)/2] )
(on a factorisé)

= 2 sin[pi/2 - c/2] ( 2 cos(a/2) cos(b/2) )
(on a utilisé cos(p+q)+cos(p-q) = 2cos(p)cos(q) et a+b = pi-c)

= 4 cos(c/2) cos(a/2) cos(b/2)
(on a utilisé sin(pi/2 -x) = cos(x) )