Géométrie

[marcopolo20]

Bonjour,

Voici l'énoncé :

on munit l'espace d'un repère orthonormé. Soient A(a,0,0), B(0,b,0) et C(0,0,c) où a,b,c sont des réels non nuls.

1) Déterminer une équation du plan (P) passant par les points A,B et C.
J'ai trouvé une EC qui est : (cx/a)+(cy/b)+z=0
2) Déterminer les coordonnées de H projeté orhtogonal de O sur le plan (P)
Et la je ne vois pas comment faire. Je sais qu'il faut utiliser un système avec deux EC mais je ne vois pas lesquelles.

Merci par avance de votre

[Joker62]

Hello,

Tu détermines la droite normale au plan passant par O.
Tu cherches l'intersection de cette droite avec ce plan.

C'est fini.

[Joker62]

Et pour info, ton équation cartésienne de plan est fausse.

(Voir le point O)

[marcopolo20]

Et pour info, ton équation cartésienne de plan est fausse.

(Voir le point O)

Je ne vois pas pourquoi elle est fausse. J'ai utilisé la méthode utilisant un vecteur normal et je ne vois pas comment me servir du point O.

[Joker62]

Les coordonnées du point O(0,0,0) vérifient l'équation de ton plan.
Donc il appartient à ton plan.
Donc l'équation de ton plan est fausse.

Pour trouver l'équation :

Tu calcules les coordonnées de vec(AB) et vec(AC).
Tu calcules le produit vectoriel vec(AB)^vec(AC). C'est un vecteur normal de ton plan.

L'équation de ton plan est donc de la forme ix + jy + kz + l = 0
avec (i,j,k) les coordonnées de ton vecteur normal.

Pour déterminer l, tu utilises le fait que A appartient à ton plan.

[Pythales]

Je ne vois pas pourquoi elle est fausse. J'ai utilisé la méthode utilisant un vecteur normal et je ne vois pas comment me servir du point O.

Tu as oublié le terme constant.

Rappel : le vecteur (A,B,C) est orthogonal au plan Ax+By+Cz+D=0

[marcopolo20]

ok merci de votre aide

[Ericovitchi]

Oui classiquement l'équation du plan s'écrit x/a+y/b+z/c=1 c'est une forme simple à se rappeler.

[marcopolo20]

C'est la méthode que j'ai utiliser. Mais pour les coordonnées du point O (0,0,0,) soit (x,y,z) lorsque je remplace dans l'équation, je trouve 0. (c/a)*0+(c/b)*0+0=0.
Je ne vois pas comment déterminer une droite normale.

[Pythales]

C'est la méthode que j'ai utiliser. Mais pour les coordonnées du point O (0,0,0,) soit (x,y,z) lorsque je remplace dans l'équation, je trouve 0. (c/a)*0+(c/b)*0+0=0.
Je ne vois pas comment déterminer une droite normale.

D'après mon dernier message, un vecteur normal au plan a pour composantes

C'est le vecteur directeur de la "droite normale"

[Synar]

D'ailleurs dans l'équation originale il suffisait d'ajouter un =c plutôt que =0. Il manquait le terme constant. D'ailleurs il est aisé de vérifier que ni A, ni B, ni C n'appartiennent au plan de l'équation postée, mais que ça marche avec un égal c. Et si on divise par c (si c=/= 0) on retrouve ce que les autres vous ont dit.
Pour trouver cette constante une fois que vous avez un vecteur normal, vous remplacez juste dans l'équation par les coordonnées de A par exemple.
Par ailleurs géométriquement vous pouvez remarquer qu'en faisant glisser un plan suivant la direction de son vecteur normal, il garde le même vecteur normal mais ce qui change c'est la constante d.

[deltab]

Bonsoir.

Pour une équation du plan P, n'était-il pas plus de chercher une équation sous la forme (P coupe les 3 axes) et utiliser le fait que les 3 points passent par P, le système obtenu est simple à résoudre.
Point A:
Point B:
Point C:
d'où et et on obtient ou encore

[Synar]

Bonsoir.

Pour une équation du plan P, n'était-il pas plus de chercher une équation sous la forme (P coupe les 3 axes) et utiliser le fait que les 3 points passent par P, le système obtenu est simple à résoudre.
Point A:
Point B:
Point C:
d'où et et on obtient ou encore

Il faut tout de même préciser que le coefficient devant z est non nul (ce qui est bien vrai ici, mais pas dans le cas général). Mais oui, pour avoir une méthode où on est sûr de ne pas se tromper, re-résoudre l'équation ne fait pas de mal. Les recettes toutes faites sont plus rapides quand maitrisées, mais causent bien des erreurs quand elles ne le sont pas.

[Razes]

1) Soit M appartenant au plan (P) passant par les points A,B et C. Donc les vecteurs sont liés. donc le déterminant de la matrice composées des trois vecteurs est nulle.



2) Le vecteur normal au plan est le vecteur
Soit H la projection orhtogonal de O sur le plan (P).

[Razes]

Ces trois équations se réduisent à deux seulement car elles sont liées.
On reporte ces informations dans l'équation du plan (P) (Astuce, pour faciliter cela multiplier l'équation du plan (P) par abc, puis remplacer les termes en y et en z)

Nous obtenons :

[Razes]

Pour simplifier l'écriture, on pose :

Nous obtenons:

[Razes]

Désolé un signe - est manquant.

1) Soit M appartenant au plan (P) passant par les points A,B et C. Donc les vecteurs sont liés. donc le déterminant de la matrice composées des trois vecteurs est nulle.



2) Le vecteur normal au plan est le vecteur
Soit H la projection orhtogonal de O sur le plan (P).

Ces trois équations se réduisent à deux seulement car elles sont liées.
On reporte ces informations dans l'équation du plan (P) (Astuce, pour faciliter cela multiplier l'équation du plan (P) par abc, puis remplacer les termes en y et en z)

Nous obtenons :


Pour simplifier l'écriture, on pose :

Nous obtenons:

[LeJeu]

J'ai l'impression que tu as dérapé quelque part...

et si on vérifiait tout simplement avec a=b=c =1

perso je m'attendrais à H = (1/3,1/3,1/3)

Non?

Le problème simplifié avec 1,1,1 ressemble à ca:



et le 1/3 se voit bien sur cette vue: ( le x et le y de H)

[Razes]

Effectivement il y a des erreurs. :mur:

1) Soit M appartenant au plan (P) passant par les points A,B et C. Donc les vecteurs sont liés. donc le déterminant de la matrice composées des trois vecteurs est nulle.



2) Le vecteur normal au plan est le vecteur

Soit H la projection orhtogonal de O sur le plan (P).



Ces trois équations se réduisent à deux seulement car elles sont liées.
On reporte ces informations dans l'équation du plan (P) (Astuce, pour faciliter cela multiplier l'équation du plan (P) par abc, puis remplacer les termes en y et en z)

Nous obtenons :


Pour simplifier l'écriture, on pose :

Nous obtenons:
:zen:

[Razes]

Encore une erreur :
Pour simplifier l'écriture, on pose :