Voici l'exercice : Montrer (sans récurrence) que
Polynome divisibilité
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Polynome divisibilité
par George150 » 16 Juil 2014, 00:30
Bonjour je fais un exercice sur les polynôme mais je ne comprends pas comment on s'y prend pour le faire
Voici l'exercice : Montrer (sans récurrence) que
divise ^{2n}-1)
divise (^n -nX-1)
et que
^2)
divise X^n +1)
Voici l'exercice : Montrer (sans récurrence) que
par deltab » 16 Juil 2014, 03:32
Bonjour
Si un polynôme)
est divisible par ^p)
, 
entier >0, alors =0)
et ......
PS: revois l'énoncé de cette partie: divise ^2n)
-1
George150 a écrit:Bonjour je fais un exercice sur les polynôme mais je ne comprends pas comment on s'y prend pour le faire
Voici l'exercice : Montrer (sans récurrence) que
Si un polynôme
PS: revois l'énoncé de cette partie:
par George150 » 16 Juil 2014, 08:21
x-a divise P ? Donc on doit chercher les racines de a pour prouver la divisilbilité ?
par fatal_error » 16 Juil 2014, 09:26
x-a divise P ? Donc on doit chercher les racines de a pour prouver la divisilbilité ?
a c'est un scalaire, ce que tu dis n'as pas de sens.
Eventuellement tu peux dire "chercher les racines du polynome x-a"
Concernant ton exo, la def de divisibilité des polynomes c'est genre quand tu les divises tu obtiens un autre polynome.
Si tu décomposes chacun de tes polynomes en facteurs, genre (x-a)(x-a)(x-b) etc, (ici a racine double), alors il faut que dans la liste des racines du polynome divisé, toutes les racines du polynome diviseur y soient comprises.
(pour que les facteurs se simplifient)
En l'occurrence, tu peux:
factoriser X^2+X, genre (X(X+1)) et regarder que ses racines, 0 et -1 soient bien racines de l'autre polynome. Idem P(0)=0, P(-1)=0
la vie est une fête 
par zygomatique » 16 Juil 2014, 12:25
salut
pour le deuxième le binôme de Newton donne la réponse ...
pour le deuxième le binôme de Newton donne la réponse ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par George150 » 16 Juil 2014, 16:27
Je viens de recevoir la correction, la voici pour la 2ème:
Notons Q(x) = divise (. On montre que Q(0) = 0 et il faut faire la même chose pour Q'(0) = 0 Quelqu'un peut m'expliquer pourquoi on dérive ?
Notons Q(x) =
par fatal_error » 16 Juil 2014, 18:07
si a est racine double du polynome P,
alors a est racine de P'.
Si a est racine double de P,
Si t'écris P(x)=(x-a)^alpha*Q(x), (donc avec alpha>1) avec Q qui n'a pas a pour racine, alors si tu dérives
P'(x)=alpha(x-a)^(alpha -1)Q(x)+Q'(x)(x-a)^alpha = (x-a)^(alpha-1)(alpha Q(x)+Q'(x)(x-a)^alpha
et on voit bien que a est bien racine de P'(x)
De manière plus générale si a est une racine d'ordre n, alors le polynome dérivée n+1 fois admet également cette racine.
alors a est racine de P'.
Si a est racine double de P,
Si t'écris P(x)=(x-a)^alpha*Q(x), (donc avec alpha>1) avec Q qui n'a pas a pour racine, alors si tu dérives
P'(x)=alpha(x-a)^(alpha -1)Q(x)+Q'(x)(x-a)^alpha = (x-a)^(alpha-1)(alpha Q(x)+Q'(x)(x-a)^alpha
et on voit bien que a est bien racine de P'(x)
De manière plus générale si a est une racine d'ordre n, alors le polynome dérivée n+1 fois admet également cette racine.
la vie est une fête
par George150 » 16 Juil 2014, 19:18
fatal_error a écrit:si a est racine double du polynome P,
alors a est racine de P'.
Si a est racine double de P,
Si t'écris P(x)=(x-a)^alpha*Q(x), (donc avec alpha>1) avec Q qui n'a pas a pour racine, alors si tu dérives
P'(x)=alpha(x-a)^(alpha -1)Q(x)+Q'(x)(x-a)^alpha = (x-a)^(alpha-1)(alpha Q(x)+Q'(x)(x-a)^alpha
et on voit bien que a est bien racine de P'(x)
De manière plus générale si a est une racine d'ordre n, alors le polynome dérivée n+1 fois admet également cette racine.
Ah merci beaucoup ! Donc pour la dernière phrase c'est qu'on doit dérivé le polynôme n fois et montré que chaque dérivé vaut admet la même racine pour montrer que c'est un divisible ?
par deltab » 16 Juil 2014, 23:41
Bonsoir
Ce n'est pas plutôt: On montre que P(0) = 0 et il faut faire la même chose pour P'(0) = 0 où=(X-1)^n-nX-1)
.
Il est évident que 0 est une racine double de=X^2)
. Si 
divise 
alors 
est au moins une racine double de et on doit alors avoir =0)
et =0)
, ceci se démontre rapidement en calculant P(0) et P'(0).
George150 a écrit:Je viens de recevoir la correction, la voici pour la 2ème:
Notons Q(x) =
Ce n'est pas plutôt: On montre que P(0) = 0 et il faut faire la même chose pour P'(0) = 0 où
Il est évident que 0 est une racine double de
par deltab » 16 Juil 2014, 23:56
@fatal_error
C'est plutôt:
De manière plus générale si
est une racine d'ordre )
d'un polynôme, alors ses dérivées }(X))
jusqu'à l'ordre 
admettent également pour racine mais n'est pas racine de }(X))
.
De manière plus générale si a est une racine d'ordre n, alors le polynôme dérivée n+1 fois admet également cette racine.
C'est plutôt:
De manière plus générale si
par George150 » 17 Juil 2014, 00:29
Ah okey merci ! Donc il faut toujours que X vaut 0 et que P(0) = 0 pour que ça marche ? (ainsi que ses dérivées jusqu'à n-1)
par deltab » 17 Juil 2014, 01:46
Bonjour
NON Dans le cas traité c'est pourquoi X=0.
Pour=(X-1)^2)
divise =nX^{n+1}-(n+1)X^n+1)
, la racine à considérer est 
, racine double de )
. On calcule P(1) et P'(1).
PS: As-tu suivi un cours où l'on parle des différents résultats utilisés.
George150 a écrit:Ah okey merci ! Donc il faut toujours que X vaut 0 et que P(0) = 0 pour que ça marche ? (ainsi que ses dérivées jusqu'à n-1)
NON Dans le cas traité
Pour
PS: As-tu suivi un cours où l'on parle des différents résultats utilisés.
par Razes » 29 Juil 2014, 03:16
1) Nous avons )
et =(X+1)^{2n}-1)
Si
divise alors 
divise et 
divise . Donc les racines de sont aussi racines de .
Nous avons=(0+1)^{2n}-1=1^{2n}-1=0)
et =(-2+1)^{2n}-1=(-1)^{2n}-1=1-1=0)
Donc effectivement divise .
2) Nous avons et =(X+1)^{n}-nX-1)
a une racine double qui est . Donc pour que divise il faut que X divise et divise )
. avec : =n(X+1)^{n-1}-n)
Nous avons=(0+1)^{n}-n0-1=1-1=0)
et =n(0+1)^{n-1}-n=n-n=0)
Donc effectivement divise .
3) Même chose qu'en 2) a une racine double qui est .
=nX^{n+1}-(n+1)X^{n}+1)
et =n(n+1)X^{n}-n(n+1)X^{n+1}=n(n+1)(X^{n}-X^{n+1}))
=n1^{n+1}-(n+1)1^{n}+1 =0)
et =n(n+1)(1^{n}-1^{n+1})=0)
Donc divise .
Si
Nous avons
Donc effectivement
2) Nous avons
Nous avons
Donc effectivement
3) Même chose qu'en 2)
Donc
par zygomatique » 29 Juil 2014, 09:09
prérequis : le binôme de Newton .... (BN)
1/
^{2n} - 1 = ((x + 1)^n - 1)((x + 1)^n + 1))
BN nous dit que x divise le premier facteur ...
^{2n} - 1 = (x + 2 - 1)^{2n} - 1)
Bn nous dit que x + 2 divise le polynome
or x et x + 2 sont premiers entre eux donc x(x + 2) divise ce polynôme ....
2/
BN nous dit immédiatement que
divise ^n - nx - 1)
3/
x^n + 1 = nx^n(x - 1) - (x^n - 1) = (x - 1)(nx^n - \sum_0^{n - 1} \ x^k) = (x - 1)\sum_0^{n - 1}(x^n - x^k) = (x - 1)\sum_0^{n - 1}x^k(x^{n - k} - 1))
or x - 1 divise chaque terme de la somme donc^2)
divise le polynôme
:zen:
merci à MacManus pour l'erreur d'énoncé ...
1/
BN nous dit que x divise le premier facteur ...
Bn nous dit que x + 2 divise le polynome
or x et x + 2 sont premiers entre eux donc x(x + 2) divise ce polynôme ....
2/
BN nous dit immédiatement que
3/
or x - 1 divise chaque terme de la somme donc
:zen:
merci à MacManus pour l'erreur d'énoncé ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par MacManus » 29 Juil 2014, 09:57
zygomatique a écrit:3/
or x - 1 divise x^n - 1 donc x - 1 divise ce polynôme
.... difficile de prouver que (x - 1)^2 divise ce polynôme ...
Bjr,
il s'agit initialement du polynôme
par Razes » 29 Juil 2014, 22:24
or 
divise chaque terme de la somme donc divise le polynôme (Ce n'est pas correct)
Dans ton expression
Il faut dire que divise aussi )
Dans ton expression
Il faut dire que
par zygomatique » 30 Juil 2014, 09:23
voir ma dernière ligne ::
or x - 1 divise chaque terme de la somme donc ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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