Une suite définie par une integrale.

[Mikihisa]

Bonsoir ! Voilà je bloque sur un exo dont voici l'énoncer :

Soit f : [0;1] -> R continue telle que f(0) = 0.
Montrer que

En fait je suis partie dans plein direction mais j'ai pas réussi a conclure. En passant par les définition de limite/continuité je m'y retrouve pas, ni avec des changement de variable.
J'ai proposer l'exo a une pote qui adore les maths mais n'a qu'un niveau terminale, et elle me dit "pourquoi ça marche pas de dire que t^n tend vers 0 donc f(t^n) tend vers f(0)=0 et donc le résultat ...

Ma première réponse c'est : parceque c'est trop facil xD mais en réalité je saurait même pas lui expliquer...

Déjà je prendrai avec plaisir des indices sur la résolution mais aussi pourquoi le solution de facilité ne fonctionne pas ?

Bien cordialement !

[Ingrid55]

Tu es sensée connaitre la primitive de t^n ?

Les expressions x^u ont pour primitive (1/u+1)x^(u+1)+k
u^n a pour dérivée n.u^n-1.u’

donc n.u^n-1.u’ a pour primitive u^n

http://calculs.chez.com/deriprim.htm

La dérivée de x^n est n*x^n-1 et le domaine de dérivabilité est R si n >= 1 .

Regardes cette solution si tu ne comprends pas :zen: :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-349596.html

[Mikihisa]

Je connais ça quand même xD

Ok la primitive de c'est F(t^n), mais la en passant par les primitive il faudrait une primitive de f(t^n), enfin je vois pas trop comment faire apparaître un truc qui se calcul bienn...

[Mikihisa]

Éventuellement je peux minoré f(t^n) par t^(n-1).f(t^n) mais encore fait-il trouver un majorant après xD et puis même avec F(t^n) entre 0 et 1 ça fait F(1)-F(0) j'en sais pas vraiment plus lol

[ARIMA]

Bonjour,
la solution qu'on va te donner dépend de ton niveau.
Quel niveau de connaissances as-tu?

Essentiellement, l'idée va être d'utiliser le fait que f est continue sur un compact, donc ?

[Mikihisa]

Niveau 2 année. En fait au début je me disait que pour n assez grand on aurait t^n < epsilon, et comme f est continue f(t^n) - f(0) < epsilon et ensuite d'intégrer mais plein de problème font surface c'est bancale. Je me suis dit que je pouvais fixe un t0 et divisiez l'intégrale en 2 (par exemple avec t0= 1-1/n mais encore une fois ça me paraît bancale :S enfait je n'ai de connaissant que un niveau L1 mais c'est un exo de L2 et j'ai déjà commencer le cours en auo didacte

[Mikihisa]

Donc f est borné et atteint des bornes ?

[ARIMA]

Je me suis dit que je pouvais fixe un t0 et divisiez l'intégrale en 2 (par exemple avec t0= 1-1/n mais encore une fois ça me paraît bancale :S enfait je n'ai de connaissant que un niveau L1 mais c'est un exo de L2 et j'ai déjà commencer le cours en auo didacte

C'est un peu l'idée et il faut le faire proprement, sinon tu risques de ne pas pouvoir conclure.
Essentiellement, l'idée revient grosso modo toujours à utiliser le fait que tu sois sur un compact et que donc f est bornée et atteint ses bornes ou que f est uniformément continue.

Je te propose une solution qui est probablement la plus facile. Connais-tu la convergence uniforme?

On va montrer que tend vers 0 ce qui est plus fort que ce que l'on veut et va l'impliquer automatiquement. En fait, on peut donc supposer SPDG que f est positive ou nulle, ce qui nous évitera de trimbaler des valeurs absolues partout.

Es-tu d'accord sous ces hypothèses que pour tout e>0, montrer que la limite est <e suffit à résoudre le problème?

[ARIMA]

La dérivée de x^n est n*x^n-1 et le domaine de dérivabilité est R si n >= 1 .
Regardes cette solution si tu ne comprends pas :zen: :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-349596.html

Je ne vois ni le lien avec l'exercice, ni l'intérêt de ce que tu donnes ici ...

[Mikihisa]

Bah si pour tout e la limite est
En regardant rapidement sur le net j'ai vu un peu mais j'ai un peu du mal a saisir la subtilité. Une suite de fonction tend simplement vers f si pour tout point x de I fn(x) tend vers f(x) ça ok, mais la subtilité pour la convergence uniforme j'ai du mal a saisir, sur le papier c'est le "pour tout pts x de I" qui change de place dans l'énoncer quoi xD

[ARIMA]

[quote="Mikihisa"]Bah si pour tout e la limite est 0 et e>0, sur [0,M], on a

Pour n assez grand, on sait que M^n0, il existe delta>0 tel que si |x|<delta alors |f(x)|<e

En combinant les deux observations judicieusement tu vas obtenir que


De plus,

Je t'ai donné 95% de la solution, à toi de rassembler les morceaux pour que ça fonctionne

[ARIMA]

L'idée évidemment est de prendre M<1 et que le e>0 d'une des 2 assertions ne joue pas nécessairement le rôle du e>0 de l'autre assertion.
J'ai juste mis les éléments clés qui vont t'aider mais je te laisse trouver comment ils s'enchaînent ...

[Mikihisa]

Ok en fait c'est un peu ce dans quoi j'était partie tout au début. Alors j'imagine que tu voulais écrire f(t^n) a la fin.

Donc en fait ici le "e" dans M^n
En fait je m'était arrêter a ta deuxième majoration, je n'ai en effet pas penser a majorer f par supf, et a juste titre, car je ne sais alors pas quoi faire de mon (1-M)supf.
Dois-je alors choisir un M spécifique, dépendant de n, qui tendrais vers 1 par exemple ? Le membre de M a 1 disparaîtrait et j'aurais l'abs de l'intégrale inférieur a l'intégrale de abs inférieur a e et donc l'intégrale qui tends vers 0.

En fait j'était pas très loin dans mon raisonnement, mais j'ai eu un blocage

[Mikihisa]

Aufait tu saurais expliquer pourquoi le raisonnement instinctif simpliste Que je posait dans le message initial n'est pas correct ? En fait au final c'est un peu ce que l'on fait, en étant plus rigoureux/formel.

[ARIMA]

Ok, donc tu n'en n'es pas très loin finalement....

Effectivement le epsilon de la suite est le delta de l'autre et effectivement j'ai oublié la puissance n dans mon intégrale.

Au final tu as


mais c'est fini ...
Si tu ne vois pas que c'est fini vas y en 2 étapes. M était fixé au départ et donc totalement indépendant des autres paramètres....

Puisque e>0 est arbitraire on obtient

mais puisque M est aussi arbitraire on obtient
.

On a donc montré ce qu'on voulait.

[ARIMA]

Ton erreur venait du fait que tes paramètres dépendaient les uns des autres. Tu n'aurais donc pas montré nécessairement que la limite existait.

Un peu comme si on te demande de dire si
existe et que tu calculais


Ça donne

Pourtant, l'intégrale n'existe pas, elle est divergente...

[Mikihisa]

Je ne comprend pas, pour être honnête la lim sup est une notion difficile a saisir, même si je vois très bien depuis j'ai encore un peu de mal a l'utiliser.

e est arbitraire donc on peux le prendre aussi proche de 0 que l'ont veux et M est arbitraire donc on peut le prendre aussi proche de 1 ?

e est associer a la limite inf et M a la limite sup ? Dsl je passe pour un con mais pourtant je t'assure Qué. je le débrouillais très bien en 1ère année xD

[Mikihisa]

La limite sup c'est la limite de la suite défini par la borne sup des valeurs uk pour k>n on est d'accord.

Si je comprend bien on atteint la limite sup en prenant e qui tend vers 0 et M qui tend vers 1 c'est ça ?

Bon je vais dormir, merci pour tes explication ! J'avais reprendre un peu le cour la je pense avant de continuer le TD ( je suis arriver a la bonne moitier du TD sur les integrale )
Bonne nuit

[ARIMA]

e est arbitraire donc on peux le prendre aussi proche de 0 que l'ont veux et M est arbitraire donc on peut le prendre aussi proche de 1 ?

Oui c'est l'idée.

e est associer a la limite inf et M a la limite sup ? Dsl je passe pour un con mais pourtant je t'assure Qué. je le débrouillais très bien en 1ère année xD

Non ça n'a rien à voir.

Tu ne peux pas passer à la limite parce que tu ne sais pas si elle existe, en revanche la limsup et la liminf existent toujours, peu importe la suite que tu étudies. Je suis passé à la limsup pour des questions de rigueur mais l'idée n'est pas vraiment là.
La liminf est la plus petite valeur d'adhérence de la suite et limsup est la plus grande. On a donc toujours liminf =0 (parce que la suite est positive) et que limsup=0 (parce qu'on l'a montré), alors on a bien limsup=liminf=lim = 0.
L'idée n'est pas vraiment là, c'est juste une question de rigueur pour avoir le droit de passer à la limite dans les inégalités alors qu'on n'avait jamais montré la convergence de la suite. L'important est le reste de la démonstration.

[Ingrid55]

Ouais , tu as raison @ARIMA , mon post était trop basique (j'ai pas vu la difficulté)...