Dérivées d'une fonction composée

[Aristarque]

Bonjour,

Je m'embrouille sur les résultats que l'on peut obtenir concernant la dérivabilité d'une fonction composée (fog) à plusieurs variables, lorsque l'une des deux fonctions f ou g n'est pas parfaitement dérivables.

Voici des questions plus précises que je me pose en particulier:

1) Si f est dérivable en un point Y=g(X), et si g admet des dérivées partielles dans toute direction en X (mais n'est pas dérivable), peut-on tout de même conclure que (fog) admet des dérivées partielles en X et employer la règle des dérivées partielles d'une fonction composée?

2) En particulier, si f est de dérivée nulle en g(X), et si g admet des dérivées partielles en X, peut-on conclure que (fog) admet des dérivées partielles nulles dans toute direction en X? Avec les mêmes hypothèses, puis-je même conclure que (fog) est dérivable de dérivée nulle?

[Doraki]

g est une fonction de R^n dans R et f de R dans R ?

dans le cas 1) f°g a des dérivées partielles dans toutes les directions, avec la formule usuelle de dérivation d'une fonction composée de R dans R.

dans le cas 2) je suis sûr qu'il y a des contre-exemples. Ce n'est pas parce que les dérivées partielles d'une fonction dans toutes les directions sont nulles que la fonction est dérivable (ni même continue)

[Ezra]

g est une fonction de R^n dans R et f de R dans R ?

dans le cas 1) f°g a des dérivées partielles dans toutes les directions, avec la formule usuelle de dérivation d'une fonction composée de R dans R.

dans le cas 2) je suis sûr qu'il y a des contre-exemples. Ce n'est pas parce que les dérivées partielles d'une fonction dans toutes les directions sont nulles que la fonction est dérivable (ni même continue)

Oui, on a plein de contre-exemples; en exemple: si et si

voire même encore l'exemple : si et si