Equa ... scions du bois.

[gl94]

Bonjour za tous.

Comment fait-on pour résoudre une équation différentielle du genre : f(x) = a * f'(x+b) ??
[ par exemple f(x) = f'(x+1) ]

A priori, il semble facile de démontrer que ce ne peut être une fonction polynomiale.
On voit bien poindre une fonction trigo, mais ensuite ... [3)] ... mes rames n'arrivent pas à attaquer la falaise.

Merci d'avance.

PS : ou bien, idée soudaine, une fonction delta semblerait être du genre de comportement désiré, mais qu'en est-il de sa dérivabilité ?

Et bonnes vacances par avance à tous ceux qui vont lâchement nous laisser moisir dans notre cagna ;o)

[Ben314]

Salut,
Il me semble qu'on en a déjà parlé dans un fil assez récent.
Dans ton équation, tu as une partie "éua. diff." (le f' en fonction du f), mais aussi une partie "translation" : le f(x+c" à la place du f(x).
Si tu regarde la plus bête des équations avec une partie "translation", c'est à dire f(x+c)=f(x), qui correspond à dire que f est périodique de période c, tu constate que... il y a des tonnes et des tonnes de solutions et que, à part de dire qu'elles sont toutes périodiques de période c, ça me semble pas évident de donner une autre formulation de l'ensemble des solutions...

Bon, ben là, c'est pareil vu que tu peut prendre f à peu prés quelconque sur un intervalle de longueur c : ta condition donnera des informations uniquement sur ce qui va se passer lorsque tu va chercher à prolonger ta fonction à un intervalle plus grand que celui de départ.

BILAN : ça me semble extrêmement difficile d'avoir une formule générale pour décrire l'énorme ensemble de solutions d'une telle équation.
A la limite, si on imposait des contraintes assez draconiennes à f, du style être analytique, on pourrait peut-être suffisamment diminuer le nombre de solutions pour pouvoir les énumérer.
Autre possibilité, imposer que, dans la direction où on a f' en fonction de f, la solution "n'explose pas" et soit prolongeable aussi loin qu'on veut : pour certaines équations de ce type (mais pas toutes), ça peut limiter le nombres de solutions.

[adrien69]

BILAN : ça me semble extrêmement difficile d'avoir une formule générale pour décrire l'énorme ensemble de solutions d'une telle équation.
A la limite, si on imposait des contraintes assez draconiennes à f, du style être analytique, on pourrait peut-être suffisamment diminuer le nombre de solutions pour pouvoir les énumérer.
Autre possibilité, imposer que, dans la direction où on a f' en fonction de f, la solution "n'explose pas" et soit prolongeable aussi loin qu'on veut : pour certaines équations de ce type (mais pas toutes), ça peut limiter le nombres de solutions.

Personnellement, je me disais que si a était plus petit que 1, justement, on avait une analycité nécessaire de la fonction, du moment qu'elle est dérivable et bornée (il suffit d'itérer). Tandis que a plus grand que 1 nous l'interdisait tout simplement.

p-s. Ou vice-versa hein, moi et les inégalités de tête...

[Doraki]

Personnellement, je me disais que si a était plus petit que 1, justement, on avait une analycité nécessaire de la fonction, du moment qu'elle est dérivable et bornée (il suffit d'itérer). Tandis que a plus grand que 1 nous l'interdisait tout simplement.

p-s. Ou vice-versa hein, moi et les inégalités de tête...

Ah mon avis tu peux avoir à peu près n'importe quoi.
Il suffit de prendre f C infinie sur [0;b] en ayant f'(b) = f(0), f"(b) = f'(0) etc. Au milieu il peut se passer tout ce que tu veux, tu pourras étendre f sur R de manière à ce que ça vérifie l'équadiff.

[adrien69]

Je me suis peut-être mal exprimé. Si f est bornée M, la dérivée nième le sera uniformément par Ma^n, d'où une convergence géométrique uniforme vers 0 du reste de Taylor, donc une analycité (sur R tout entier)

(quand je dis plus grand et plus petit, c'est du strict hein, je parle avec les mains là)

[Ben314]

Je me suis peut-être mal exprimé. Si f est bornée M, la dérivée nième le sera uniformément par Ma^n, d'où une convergence géométrique uniforme vers 0 du reste de Taylor, donc une analycité (sur R tout entier)

(quand je dis plus grand et plus petit, c'est du strict hein, je parle avec les mains là)

Là, effectivement, si tu ne cherche que des solutions bornées sur R tout entier, c'est suffisamment "draconien" comme condition supplémentaire pour qu'on puisse espérer limiter le nombre de solutions.

Mais j'ai bien peur que ce soit "trop draconien"comme condition dans le sens qu'il ne te reste que la solution nulle (à vérifier quand même...)

[adrien69]

Pour information : une thèse en traitant.

Grosso modo, si j'ai bien lu en diagonale, ce genre de trucs "élémentaire" se fait via la transformée de Laplace. Ce qui en fait aurait dû nous sauter au visage. Mais bon, on ne peut pas tout voir tout le temps :D

[Ben314]

Ben, oui, mais pour pouvoir utiliser la transformation de Laplace, il faut de nouveau rajouter des conditions à l'équation de départ du style qu'on ne cherche pas une soluce sur R mais sur un [a,+oo[ et qu'on ne cherche que des soluces à croissances pas trop rapide...

[gl94]

Pour information : une thèse en traitant.

Grosso modo, si j'ai bien lu en diagonale, ce genre de trucs "élémentaire" se fait via la transformée de Laplace. Ce qui en fait aurait dû nous sauter au visage. Mais bon, on ne peut pas tout voir tout le temps

Ben, mille excuses si le sujet a déjà été traité ; étant moi-même "tout récent" sur ce forum, je n'ai pas perçu de fil à ce sujet.

Pour ce qui est du "élémentaire", je suis désolé d'emmerder des sommités pour si peu. Je suis bien conscient d'être évidemment d'un niveau trop faible pour intéresser, j'avais cru le comprendre (et encore, ce 'niveau' date d'il y a 40 ans!).

Donc d'après ce que j'ai compris, il manque des contraintes pour restreindre l'infini :zen:

Pour la réponse 'une thèse en traitant', je n'ai pas pu trouver de lien où cliquer : suis-je, en plus, aveugle ? :mur:

[adrien69]

Pour la réponse 'une thèse en traitant', je n'ai pas pu trouver de lien où cliquer : suis-je, en plus, aveugle ? :mur:

Non je suis juste étourdi.

http://dspace.univ-tlemcen.dz/bitstream/112/967/1/these.pdf

Je tiens à te faire remarquer que ton "Ben, mille excuses si le sujet a déjà été traité ; étant moi-même "tout récent" sur ce forum, je n'ai pas perçu de fil à ce sujet" est de la pure mauvaise foi, étant donné que tu avais toi-même ouvert ledit fil (et que j'y avais déjà répondu).