Équation générale ellipse et courbe de Bézier cubique

[Thlang]

Bonjour,

Je m'excuse d'avance si je ne suis pas à la bonne place. J'ai longtemps cherché une réponse sur internet mais je n'ai rien trouvé de compréhensible pour mon niveau (2eme année d'ingénieur).
J'ai deux questions:

1) Est-ce qu'il existe une équation décriant une ellipse dont le grand et petit rayon ne sont pas confondu avec l'axe des X et des Y ?

La situation est la suivante: j'ai une ellipse qui a subi une rotation, j'ai le centre de cette ellipse ainsi que 4 points lui appartenant et j'aimerai déterminer la position des 2 points les plus éloignés.
Au début, je pensais utiliser l'équation (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 mais il me semble que cette équation n'est valable que dans le cas d'une ellipse dont le grand et petit rayon sont confondu avec l'axe des X et des Y.

2) Dans un programme, j'utilise des courbes de Bézier cubique pour simuler des ellipses. J'ai les coordonnées des points de départ et d'arrivée ainsi que celles des points de contrôles.
Je sais que l'équation est de la forme:
B(t) = P0(1-t)^3 + 3P1 * t(1-t)^2 + 3P2 * t^2 * (1-t) + P3 * t^3
Le problème est que je ne suis pas certain de la façon d'utiliser cette équation. Est-ce que je peux séparer cette équation en deux, une pour l'abscisse et une pour l'ordonnée ? Du genre Bx(t) et By(t) ?
Mon but est de déterminer le point de la courbe ayant le plus grand y, si j'ai une équation du genre By(t) je peux la maximiser sans problème mais si je n'ai pas By(t), comment dois-je faire ?

Merci d'avance.

[MacManus]

Bonjour,

1)
Oui, on peut très bien écrire l'équation d'une ellispe si le petit axe et le grand axe ne sont pas parallèles ou confondus aux axes du repère cartésien.
- Est-ce que tu sais exprimer une matrice de rotation dans R² ?
- Est-ce que ton ellipse est centrée à l'origine ?
Tu pourras ensuite calculer les nouvelles coordonnées des points issus de la rotation en fonction des anciennes coordonnées.

[chan79]

La situation est la suivante: j'ai une ellipse qui a subi une rotation, j'ai le centre de cette ellipse ainsi que 4 points lui appartenant et j'aimerai déterminer la position des 2 points les plus éloignés.
Au début, je pensais utiliser l'équation (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 mais il me semble que cette équation n'est valable que dans le cas d'une ellipse dont le grand et petit rayon sont confondu avec l'axe des X et des Y.

Salut
Si tu connais le centre I de l'ellipse et 3 de ses points, tu as en fait 6 points de l'ellipse avec les symétriques par rapport à I.
Tu peux calculer les coefficients de l'équation généralisée d'une conique:

[Black Jack]

Pour info :

L'équation générale d'une conique est de la forme : Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0

Le binôme caractéristique est: delta = AC - B²

si delta = 0 alors il s'agit d'une parabole
si delta > 0 alors il s'agit d'une ellipse
si delta < 0 alors il s'agit d'une hyperbole.
*****
Centre d'une conique :

Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F = 0
Si AC-B^2 est différent de 0 (donc soit ellipse soit hyperbole) alors les coordonnées du centre sont solutions du système:

Ax + By + D = 0 (provient de la mise à 0 de la dérivée partielle première de Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F par rapport à x)
Bx + Cy + E = 0 (provient de la mise à 0 de la dérivée partielle première de Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F par rapport à y)
*****

:zen:

[chan79]

Ca ne servira sans doute à rien ici mais quand on a une ellipse déjà tracée, il y a une construction qui permet d'obtenir ses axes à partir de deux diamètres conjugués (faciles à tracer ici vu qu'on a le centre).


(IM) et (IN) sont conjugués.
On trace la perpendiculaire à (IM) passant par N. Cette perpendiculaire est coupée en C et D par le cercle de centre N et de rayon IM.
Les axes sont les bissectrices des droites (IC) et (ID).