Besoin d'un renseignement

[effervescence]

Bonjour =)

J'étudie en ce moment les fonctions composées (1èreS)
Et voici un exercice, où je me pose une question :

f et g sont deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg.
Pour chacune des fonctions f et g ci-dessous :
1-préciser l'ensemble de définition de la fonction h=f o(rond) g
2-exprimer le plus simplement possible h(x)

a.f(x)=2x²+1 et g(x)=racine de x-1

Pour simplifer la fonction j'y arrive mais c'est l'ensemble de défintion qui me pose problème. Sur h=g o f je l'ai trouvée mais est-ce le mème sur h=f o g ?
Sinon comment faut-il le trouver sur h = f o g ?!
Merci de m'aider A+

[nox]

eh bien comment l'as tu trouvé pour g o f ?
si tu n'as pas l'expression directe de la fonction il faut procéder par échelon.
On regarde l'ensemble de définition de f (ca on l'a c'est Df) et ensuite il faut donc que g(x) appartienne à Df donc on regarde pour quels x de Dg g(x) appartient à Df...
Et l'ensemble de ces x ba c'est D(fog)

[titine]

Bon, je vais essayer d'être clair ...

La fonction composée gof s'obtient en appliquant d'abord f, pui g. f est définie sur R, c'est à dire que quel que soit le nombre réel x on peut calculer f(x). De plus le résultat, f(x), sera toujours un nombre positif car f(x) = 2x² + 1. Donc, quel que soit le nombre réel x, on pourra calculer g(f(x)) qui sera égal à rac(f(x)) - 1. Conclusion gof est définie sur R.

Par contre la fonction composée fog s'obtient en appliquant d'abord g, pui f. Or g est définie sur [0,+inf[ car on ne peut calculer rac(x) - 1 que si x est un nombre positif. Puis, quel que soit le nombre x positif on peut calculer f(g(x)). Donc fog est définie sur [0,+inf[.

J'ai fait de mon mieux pour t'expliquer mais ça serai plus clair avec des shémas ...
Dis moi si tu penses avoir à peu près compris.

[nox]

waip l'explication me parait bien mais je mettrai quand meme l'accent sur le fait que l'ensemble image de Dg par g est important.
La racine carrée est à valeur dans IR et Df = IR donc ca marche...

[muse]

gof c'est en fait

g[f(x)]

[effervescence]

La je ne comprends pas ... Enfin je comprends la réponse de "titine", et j'ai remarquée pour h(x)=gof, Df = R et Dh = R ainsi que pour h(x)=fog Dg = R+ et Dh=R+ donc voila est-ce valable pour tout ? Ou est ce seulement une coincidence ?

Et sinon, je ne comprends pas car, mon professeur nous à donné un exemple qui ne concorde pas du tout, si je reproduis de mème, avec la réponse de "titine". Voici cet exemple :

h(x)=racine de 2x-6
f(x)=2x-6
g(x)=racine de x
Df=R
Dg=R+

On doit avoir, pour x sur Df
f(x) sur R+
2x-6 >= 0
x >= 3
Donc hog est définie sur [3;+inf[

Regardons fog
fog est définie sur R+


Voila je ne comprends pas, ce sont les mèmes techniques que mon exercice mais pas les mèmes valeurs et je ne trouve pas les mèmes ensembles de définition (expliquée par titine)

[titine]

Je ne comprends pas bien ton exemple, je pense que tu n'as pas du le reproduire exactement ...
f(x)=2x-6, Df=R
g(x)=racine de x, Dg=R+

Interessons nous à fog :
On part de x, on calcule g(x), puis on applique f au résultat : f(g(x)).
Pour calculer g(x) il faut avoir choisit x dans Dg, c'est à dire dans R+.
Pour calculer f(g(x)) il faut que g(x) appartienne à Df = R. Là il n'y a pas de soucis, quel que soit x, g(x)=rac(x) appartient à R.
Finalement si on prend x dans R+ on peut calculer g(x), puis f(g(x)).
Donc Dfog = R+.
Par exemple tu peux calculer fog(1) = f(g(1)) = f(1) = -4.
Mais tu ne peux pas calculer fog(-1) = f(g(-1)) car g(-1) n'existe pas.

Interessons nous maintenant à gof :
On part de x, on calcule f(x), puis on applique g au résultat : g(f(x)).
Pour calculer f(x) il faut avoir choisit x dans Df, c'est à dire dans R.
Pour calculer g(f(x)) il faut que f(x) appartienne à Dg = R+. Il faut donc que f(x)>=0, c'est à dire 2x-6>=0, c'est à dire x>=3. Donc il faut que x appartienne à [3,+inf[.
Finalement pour pouvoir calculer calculer g(f(x)) il faut que x appartienne à [3,+inf[.
Donc Dgof = [3,+inf[.
Par exemple tu peux calculer gof(4) = g(f(4)) = g(2) = rac(2).
Mais tu ne peux pas calculer gof(1) = g(f(1)) = g(-4) car g(-4) n'existe pas.

N'hésite pas à me poser des questions.
pour bien comprendre je te conseille de prendre une feuille et d'écrire ton enchainement d'opérations, éventuellemnt en utilisant plusieurs couleurs, comme ton professeur a du vous le montrer je pense ...

[nox]

Eeeeeh oui d'où mon insistance sur les ensembles images !!

En fait tu appliques 2 fonctions successivement.

Disons que tu as une fonction f qui va de R dans R et une fonction g qui va de R+ dans R comme ici.

Alors voila ce qu'on fait quand on fait fog :

x ---> g(x) ---> f(g(x))

On part de la fin : comme f est définie sur R, il faut que g(x) soit dans R. Or g(x) est toujours dans R, donc x peut prendre toutes les valeurs de Dg = R+
Donc l'ensemble de définition c'est R+

PAR CONTRE quand on fait gof :

x ---> f(x) ---> g(f(x))

Idem on part de la fin : comme g est définie sur R+, il faut que f(x) soit dans R+. Donc ensuite il faut regarder à quel ensemble doit appartenir x pour que f(x) soit dans R+...car f(x) n'est pas toujours dans R+ puisque f va de R dans R. Et en l'occurence pour que f(x) soit dans R+, il faut que x soit supérieur ou égal à 3.

Donc voila la démarche générale :

x ---> f(x) ---> g(f(x))

g est définie sur Dg, donc f(x) doit être dans Dg. Or f(x) appartient à Dg pour tout x appartenant à -à déterminer- (MAIS CA N'EST PAS TOUJOURS Df !!)
Cet ensemble à déterminer est donc l'ensemble de définition de gof