Une symétrie de E

[Khalidow]

Bonsoir ,
Soit f une involution (ou une symétrie) de E , c'est-a-dire un endomorphisme de E vérifiant f^2=IdE .
1.Montrer que f est un automorphisme de E .
2.Montrer que E=ker(f-IdE) (+) ker(f+IdE) . (somme directe)
3.Ecrire la matrice de f dans une base adaptée a cette somme directe .
Pour 1. j'ai réussi a montrer que f est bijective . les deux autres :help:

Merci

[M.Floquet]

Salut as-tu vu la notion de polynôme caractéristique et de polyome annulateur ?

[Sourire_banane]

Bonsoir ,
Soit f une involution (ou une symétrie) de E , c'est-a-dire un endomorphisme de E vérifiant f^2=IdE .
1.Montrer que f est un automorphisme de E .
2.Montrer que E=ker(f-IdE) (+) ker(f+IdE) . (somme directe)
3.Ecrire la matrice de f dans une base adaptée a cette somme directe .
Pour 1. j'ai réussi a montrer que f est bijective . les deux autres :help:

Merci

Hello,

1) f est un endomorphisme, et f est clairement bijective avec f^(-1)=f.
2) Montre que tout x peut s'écrire sous la forme x1+x2 avec x1 dans le noyau de f-IdE (ça veut dire quoi ?) et x2 dans le noyau de f+IdE. Puis montre que le seul élément qui soit à la fois dans ces deux espaces est l'élément nul.
3) Quelle base adaptée à cette somme peux-tu envisager ? Quel théorème utilises-tu pour justifier ceci ?

[Sourire_banane]

Si tu bloques pour trouver x1 et x2, justifie pourquoi f(x)+x et x-f(x) fonctionnent.

[Khalidow]

Ca donne f(x1)-x1=0 et f(x2)+x2 =0
alors si x appartient a l’intersection de ker(f-IdE) et ker(f+IdE) on a f(x)=x=-x ce qui est impossible , donc leurs intersection est l'élément nul ?

[vitaliParadox]

Bonjour Khalidow, connais-tu la notion de polynôme minimal d'un endomorphisme. Si oui, la réponse 2) est triviale (à condition que le corps de base soit de caractéristique différente de 2; je suppose que E est un R-ev dans ton énoncé, donc ça marche). En effet, si f différent de IdE et f^2=IdE, son polynôme minimal est X^2-1, il est scindé à racines simples de racines 1 et -1 (car R est de caractéristique 0 différente de 2). Rappel du thm: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
Ainsi f est diagonalisable de valeurs propres 1 et -1 d'où 2) (par définition de la diagonalisation).
3) est triviale, dans la base constituée des vecteurs propres, la matrice s'écrit diag(1,-1).

Si par contre le thm sur le polynôme minimal n'est plus au programme (je ne serais pas étonné), on montre très facilement que les valeurs propres sont 1 et -1 (si l valeur propre et x vecteur propre associé, f(f(x))=l*lx=x, d'où l*l=1). Prend x dans l'intersection de tes sous-espaces propres, alors f(x)=x=-x et comme le corps de base est de caractéristique différente de 2, alors x=0. On a aussi x=(x+f(x))/2+(x-f(x))/2, on montre facilement que f(x+f(x))=f(x)+x, donc x+f(x) est dans le noyau de f-IdE; de la même manière x-f(x) dans le noyau de f+IdE.