Prove that

[Sourire_banane]

Bon ben j'y étais presque à quelques erreurs près !

[chan79]

En développant l'égalité de l'hypothèse
2x²+2y²+2z²-2(xy+xz+yz)=xyz
or on peut vérifier l'égalité x³+y³+y³=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)+3xyz
En multipliant cette égalité par 2 et en remplaçant, on a:
2(x³+y³+y³)=(x+y+z)xyz+6xyz
2(x³+y³+y³)=(x+y+z+6)xyz
or l'un des trois nombres x, y et z est pair (car si x, y et z étaient tous les trois impairs, l'égalité de l'hypothèse serait impossible)
donc x³+y³+y³ est divisible par x+y+z+6 avec les hypothèses indiquées

[lulubibi28]

@chan79 , oui , ta réponse est juste , dans cet exo , tout est question d'une bonne décomposition et ordre .
Au collège, on a apprit qu'un nombre multiple de quelques choses : est en fait divisible . Est-ce que je me trompe là? Logiquement , 10 = 5 * 2 , donc l'entier 5 est un multiple de 2 ...

Mais concernant la parité , la multiplication de 3 nombres impaires donnent un résultat négatif , sans parler si l'équation est élevée à la puissance 3 ( la puissance 2 est plutôt cool , pas de nombres négatifs :we: ).

[chan79]

Est-ce que je me trompe là? Logiquement , 10 = 5 * 2 , donc l'entier 5 est un multiple de 2 ...

10 = 5 * 2 , donc l'entier 10 est un multiple de 2

[lulubibi28]

Ok .Merci pour l'info .

[brhum.moh]

je suis desole

je ne sais pas français

enchanté de faire votre connaissance


je ne vois pas d'inconvenient


merci beaucoup :mur:

[brhum.moh]

:mur:

[lulubibi28]

Il faut déjà réussir à éliminer cette racine cubique .
Regardes le lien http://computation.llnl.gov/casc/Overture/henshaw/documentation/App/manual/node119.html
Formule pour 3 nombres :

max(a, b, c) = 1/2 ( 1/2 (a+b+|a-b|) + c + | 1/2(a+b+|a-b|) - c |

lien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,5733

Est-ce que vous êtes en mathématique spécialité ?

En tout cas, la valeur absolue d'un nombre est toujours positive .

[adrien69]

C'est très simple :

Fixons a.

Le cas limite est donné par "le triangle est le segment a".

À partir de là il existe d dans [0,1], b=ad, c=a(1-d) les deux sont plus petits que a donc max(a,b,c)=a

Donc maintenant a^3+b^3+c^3=a^3(1+1-3d+3d^2)

3abc=3a^3d(1-d)

on additionne les deux :

a^3+b^3+c^3+3abc=a^3(2-3d+3d^2+3d-3d^2)=2a^3

on divise par deux, ça donne a^3

On passe à la racine troisième, et j'espère que tout le monde sera d'accord pour dire qu'on a le résultat.

[lulubibi28]

Tu voudrais dire que a serait en fait l'hypoténuse ?
Mais d'où vient cette variable d ? Un triangle ne possède que 3 cotés .
L'énonce ne stipule pas que max(a,b,c)=a et demande de démontrer une inégalité .

[adrien69]

Je n'ai pas envie d'expliquer. C'est vraiment simple. Je fais juste une étude du cas critique (dans le cas où la partie de gauche de l'inégalité est la plus petite possible).

L'auteur ne fait pas d'effort, je ne vois pas pourquoi j'en ferais.

[lulubibi28]

En tout cas , l'énoncé apporte très peu d'indications *.* : pas facile de s'y frotter !

[Ben314]

Salut,
Même sans supposer qu'on est "à la limite", ce n'est pas bien compliqué :
En supposant que est le plus grand des 3, on a donc

(les fonctions x->x^3 et x->3abx sont croissantes sur R)

[lulubibi28]

Donc tout part de cette supposition . Ensuite , on analyse le comportement des fonctions dans R , et comme les deux sont croissantes , on peut déduire l'inégalité la plus forte , en fait , tu as éliminé la racine cubique en élevant au cube ...

Dans une autre situation ,est-ce que l'on peut étudier une inégalité lorsqu'une des fonctions est décroissante sur R ?
Bon , lorsqu'on a deux fonctions décroissantes sur R , c'est le contraire du résultat de cet exo (genre 1/x ) ....

[Ben314]

Donc tout part de cette supposition . Ensuite , on analyse le comportement des fonctions dans R , et comme les deux sont croissantes , on peut déduire l'inégalité la plus forte , en fait , tu as éliminé la racine cubique en élevant au cube ...

Dans une autre situation ,est-ce que l'on peut étudier une inégalité lorsqu'une des fonctions est décroissante sur R ?
Bon , lorsqu'on a deux fonctions décroissantes sur R , c'est le contraire du résultat de cet exo (genre 1/x ) ....

Oui, l'énoncé équivaut à a^3+b^3+c^3+3abc>=2.max(a,b,c) qui est plus facile à manipuler (et de nouveau, c'est équivalent du fait que la fonction x->x^3 est strictement croissante sur R_+)
Aprés, effectivement, la somme de deux fonctions croissante est elle même croissante : cela résulte immédiatement de la définition de "croissante" et du fait que, pour tout réels a,b,c, si a>=b alors a+c>=b+c