Prove that

[brhum.moh]

Prove that x^9999+ x^8888+ x^7777+ …….+ x^2222+ x^1111+ 1 is divisible by x^9+ x^8+ x^7+ …….+ x^2+ x+ 1

[brhum.moh]

[brhum.moh]

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv

[brhum.moh]

:dodo: njj

[chan79]

Prove that x^9999+ x^8888+ x^7777+ …….+ x^2222+ x^1111+ 1 is divisible by x^9+ x^8+ x^7+ …….+ x^2+ x+ 1

salut
si x est différent de 1


En utilisant deux fois cette formule, le résultat vient tout seul

[Ben314]

Salut,

Si , , et alors

A.N. :

[brhum.moh]

:jap: Thanks

[Cliffe]

Pourquoi ne pas parler fr sur un forum français ???

[Sourire_banane]

Parce qu'il ne sait sans doute pas ? Il a vu des maths et ça lui suffisait.

[Cliffe]

Parce qu'il ne sait sans doute pas ?

Oui bien-sûr.
Y'a d'autres personnes qui ne sont pas francophones et qui écrivent en français.

[chan79]

Oui bien-sûr.
Y'a d'autres personnes qui ne sont pas francophones et qui écrivent en français.

Il aurait pu mettre "Hello", quand même ... :zen:

[lulubibi28]

Vous oubliez que la colonisation a existé et donc qu'il y'a certains qui écrivent en langue française ^^.....(mais la langue créole est de loin la plus originale :we: )

[brhum.moh]

Merci

[Lostounet]

Hello there,

This is a French speaking forum. It'd be great if you could at least have the decency to say hello and to translate your questions so that you could reach out to more people.

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[lulubibi28]

Est-ce que tu as déjà testé des entiers ?
Par exemple , x = 2 , y=1, z=3
(x - y)² + (y - z)² + (z - x)² = (1)² + (-2)² + (1)² = 1 + 4 +1 = 6
xyz= 2*3*1 = 6 donc c'est l'égalité est vérifiée

Sinon pour le reste , tu dois revoir les identités remarquables , et les trucs avec les règles de fractions .
Un truc à savoir :

(x+y+z)^3 = (x^3+y^3+z^3)+3(x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2)+6xyz

x^3+y^3+z^3 = -3(x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2) - 6xyz
= -3(x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2) - 12
x^3+y^3+z^3 = -3(x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2) - 6xyz
= -3(x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2) - 12
= -3(-6) - 12
= 18 - 12
= 6

[Sourire_banane]

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Comment tu parles un anglais trop formel lostounet

[lulubibi28]

Oui , mais c'est vrai que le titre du topic est un peu rude ^^
En tout cas , "integers" veut dire un entier .
@brhum.moh Sinon , pour la divisibilité , là dans cet exo , il doit y avoir une astuce ...

[chan79]

Oui , mais c'est vrai que le titre du topic est un peu rude ^^
En tout cas , "integers" veut dire un entier .
@brhum.moh Sinon , pour la divisibilité , là dans cet exo , il doit y avoir une astuce ...

salut
il y a une formule
x³+y³+y³=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)+3xyz
on développe l'égalité de l'hypothèse et on remplace.
il y juste à montrer que x, y et z ne sont pas tous les trois impairs et c'est simple à faire.

[Sourire_banane]

J'ai pensé à poser x+y+z=sigma1
xy+yz+xz=sigma2 et xyz=sigma3

A partir de (x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=xyz on obtient 2*(sigma1²-2*sigma2)=2*sigma2+sigma3
Et à partir de x^3+y^3+z^3 je développe et j'ai que c'est égal à sigma1(sigma1²-2*sigma2)

Ca avance pas à grand chose mais j'ai pas le temps de trop pousser mes recherches et de toute façon les fonctions symétriques servent plutôt lorsqu'on cherche des propriétés utiles avec les racines d'un polynôme bien précis. Ici c'était pour simplifier les calculs.

[Ben314]

Salut,
Un truc bien utile pour ce genre de casse-tête, c'est les Identités de Newton donnant le lien entre les sommes de Newton et les polynômes symétriques élémentaires :

Si

alors

donc et

en dévelopant, l'hypothèse dit que .

Donc
est bien divisible par