Théorème niveau terminale

[Trident]

Salut à tous. Je recherche la démonstration d'un théorème niveau terminale que je n'ai pas trouvée sur le net. Peut être, ai-je mal cherché (ou pas assez).

Soit I un intervalle de R (de longueur non nulle) et f une fonction continue sur I et dérivable sur l'intérieur de I. Si f ' est positive et ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur l'intérieur de I, alors f est strictement croissante sur R.

En relisant mon cours de L1, je m'aperçois qu'on avait fait la démo du théorème dont l"hypothèse "Si f ' ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur l'intérieur de I" était "si f '>0 sur l'intérieur de I". Du coup, là c'est plus facile car avec le T.A.F, on conclut immédiatement.

Soient x et y dans I tels que x > y. On veut montrer que f(x)>f(y). Il existe un c dans ]x;y[ tel que f(x)-f(y)= f ' (c) (x-y). Si f '(c)=0, on n'a pas de chance ! [la proba était nulle de tomber sur un c d'image nulle par f' :zen: ]. Mais pourquoi est-on sûr que le c n'est pas tel que f ' (c)=0 ?

[Ben314]

Salut,
Tu cherche... dans la mauvaise direction : ce résultat est vraiment un corollaire (bête) du théorème classique où f'>0 sur l'intérieur de I :

Soit x1) Si f'>0 sur ]x,y[ c'est fini par application normale du théorème.
2) Si f'(t)=0 a des solutions sur ]x,y[, soit z la plus petite de ces solution (il y en a bien une plus petite que les autres vu qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions).
On a donc f'>0 sur ]x,z[ donc f(x)De plus, f'>=0 sur ]z,y[ donc f(z)<=f(y).
Conclusion f(x)
et voilou et voila... :lol3:

[chan79]

Soit I un intervalle de R (de longueur non nulle) et f une fonction continue sur I et dérivable sur l'intérieur de I. Si f ' est positive et ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur l'intérieur de I, alors f est strictement croissante sur R.

salut
ça doit marcher si l'ensemble des x qui annulent la dérivée est dénombrable

[mr_pyer]

salut
ça doit marcher si l'ensemble des x qui annulent la dérivée est dénombrable

Oui, et ça marche encore si l'ensemble des zéros ne contient pas d'intervalle.

[Trident]

Ah en effet, c'était tout bête ! Merci!