Problème primitive

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TomSawyer
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Problème primitive

par TomSawyer » 11 Juin 2014, 09:42

Bonjour,

J'ai un soucis au niveau de la résolution d'une primitive :

exp/exp+1


J'obtiens ln(exp+1), normal ?

J'utilise u'f(u).



Monsieur23
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par Monsieur23 » 11 Juin 2014, 09:58

Aloha,

Ouais, c'est bon. Qu'est-ce qui te choque ?
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

TomSawyer
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par TomSawyer » 11 Juin 2014, 10:00

Je me rappelle plus de comment j'ai procéder ..

Teamynil
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par Teamynil » 11 Juin 2014, 10:11

Bah il s'agit juste de l'utilisation de la propriété de u'/u ! ^^
[u'/u]=ln(u)
Donc dans ton cas, [exp/exp+1]=ln(exp+1)
Il n'y a pas vraiment de grosse démonstration

TomSawyer
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par TomSawyer » 11 Juin 2014, 10:13

Je suis d'accord, mais comment tu enlève la division pour le coup ? On enlève u', celui du haut, sa l'enlève totalement ou il est remplacé par 1 ?

Teamynil
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par Teamynil » 11 Juin 2014, 10:16

Mais il ne faut pas enlever la division, c’est une propriété, comme la dérivée de x² par exemple !
Si çà te choque dérive ln(exp+1) et tu retomberas sur exp/exp+1.
Je pense que ton problème n'est pas un problème de formule mais de comprendre ce qu'est une primitive,
Une primitive d'une fonction f, et une fonction F telle que F'=f.

TomSawyer
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par TomSawyer » 11 Juin 2014, 10:20

Je l'a fais comme je le pense:

En ayant vu auparavent que u=exp et u'=exp, la dérivé

1ère étape: je supprime u' et je remplace u par x => f=1/x => F=ln(x)
2ème étape: je remplace x par u => ln(x+1)

Je l'avais fais parfaitement pendant le bac blanc et là ...

Teamynil
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par Teamynil » 11 Juin 2014, 10:23

Mais ... C'est faux ce que tu dis, 'fin, j'arrive pas à comprendre ta démarche.
Tu as juste à appliquer une formule, je vois pas pourquoi tu cherches à comprendre c'est juste une formule !
quand on te dit cos²(x)+sin²(x)=1 tu cherches pas à savoir ou sont passés le cos et le sin si ?
La on te dit que u'/u = ln(u).
Si tu veux démontrer cette propriété, utilise l'IPP

TomSawyer
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par TomSawyer » 11 Juin 2014, 10:27

Je vois ce que tu veux dire, j'ai d'abord appris comment marchait cette formule avant de l'utiliser sur du parcoeur, mais merci a toi :) !
Au passage, cos²(x)+sin²(x)=1, Pourquoi ?

Teamynil
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par Teamynil » 11 Juin 2014, 10:32

Si tu te places dans le cercle trigonométrique, que tu prends un angle x, tu traces le triangle rectangle associé et en utilisant Pythagore tu trouves cette formule ! ^^
J'ai pas trop le temps de te la démontrer ce matin, cherche sur internet si cela t'intéresse! :)

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ampholyte
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par ampholyte » 11 Juin 2014, 10:42

Bonjour,

Teamynil a écrit:Si tu te places dans le cercle trigonométrique, que tu prends un angle x, tu traces le triangle rectangle associé et en utilisant Pythagore tu trouves cette formule ! ^^
J'ai pas trop le temps de te la démontrer ce matin, cherche sur internet si cela t'intéresse! :)


Une autre démonstration est possible en passant par les formules d'Euler.

Tu sais que :



et



Donc :





On obtient alors :


paquito
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par paquito » 11 Juin 2014, 11:23

Tu utilises la formule u'f(u) donne F(u) comme primitive, mais en terminale ce sont des cas particuliers qui interviennent et qu'il faut mémoriser:

si f(x) =1/x, on obtient u'/u a pour primitive ln(u) (C'est ce que tu utilises là) (u>0);

si f(x) =e^x, on obtient u'e^u a pour primitive e^u;

si f(x) =x^n, on obtient u'u^n a pour primitive ((1/n+1)u^(n+1)

Voila pour les 3 principales; il faut aussi savoir dériver cos(2x) par exemple.

En ce qui concerne la relation cos²(x)+sin²(x)=1, j'ai une démonstration amusante:

soit f la fonction définie sur R par f(x)=cos²(x)+sin²(x);

f'(x)=-2sin(x)cos(x)+2cos(x)sin(x)=0, donc f est une fonction constante, la constante étant par

exemple f(0)=cos(0)+sin(0)=1; on a donc pour tout x de R,f(x)=cos²(x)+sin²(x)=1

John Difool
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par John Difool » 11 Juin 2014, 15:26

ampholyte a écrit:Bonjour,



Une autre démonstration est possible en passant par les formules d'Euler.

Tu sais que :



et



Donc :





On obtient alors :



L'exponentielle complexe n'est elle pas censée être définie par exp(ix) = cos(x) + i sin(x) ?

Du coup, retrouver que cos²(x) + sin²(x) = 1 en partant des formules d'Euler n'est-il pas un raisonnement circulaire ?

(Ou je dis n'importe quoi... ?)

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ampholyte
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par ampholyte » 11 Juin 2014, 15:32

John Difool a écrit:L'exponentielle complexe n'est elle pas censée être définie par exp(ix) = cos(x) + i sin(x) ?

Du coup, retrouver que cos²(x) + sin²(x) = 1 en partant des formules d'Euler n'est-il pas un raisonnement circulaire ?

(Ou je dis n'importe quoi... ?)


Bonjour,

Ce n'est pas du tout circulaire tant qu'on ne repasse pas sous le forme de cos / sin.

En effet

Cette définition a permis la construction des formules d'Euler.

Il est souvent plus facile de travailler avec les formules d'Euler qu'avec des cos / sin pour certains types d'exercices.

Par exemple transformer une somme en un produit de cosinus ou inversement.

John Difool
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par John Difool » 11 Juin 2014, 16:44

Je voyais les choses un peu différemment.

En fait je montrais ça comme ça :

D'où

Mais la propriété découle des propriétés des sinus et cosinus donc dans ce cas c'est circulaire non ?

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ampholyte
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par ampholyte » 11 Juin 2014, 17:15

La propriété est une propriété de l'exponentielle et non du sinus ou cosinus.

Ta démonstration est également valable (même si je l'a préfère en partant de cos²(x) + sin²(x)).

J'avoue que j'ai un peu de mal avec ce que tu appelles un raisonnement circulaire.

John Difool
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par John Difool » 11 Juin 2014, 17:58

J'aurais dû préciser z et w complexes.

Pour le raisonnement circulaire je cite wikipedia : "On nomme argument circulaire un argument où une proposition A utilise pour sa justification une proposition B dans le même temps que la justification de la proposition B nécessite la validité de la proposition A. "

paquito
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par paquito » 11 Juin 2014, 18:56

En terminale, la notation est balancée parce que ça marche. Il est hors de question de donner , définition qui fait appel à des notions nettement post-bac et qui permet de définir, outre l'exponentielle réelle, les fonction cos et sin indépendamment du cercle trigo, mais aussi le nombre ; Les formules d'Euler sont donc totalement admises et comme elles sont vraies, permettent de simplifier bien des calculs. Ca ne pose aucun problème; on ne vas quand même pas attendre maths spé pour parler du nombre !

John Difool
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par John Difool » 11 Juin 2014, 19:28

Bien sûr, avec cette définition on peut justifier exp(z+w) = exp(z) * exp(w) (binôme de newton il me semble) et du coup ma preuve fonctionne.

J'ai pas le temps de trouver où, mais j'ai l'impression qu'avec juste des connaissances de terminale, on se mord la queue pour prouver cos²(x) + sin²(x) = 1 par les exponentielles complexes...

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ampholyte
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par ampholyte » 12 Juin 2014, 01:37

John Difool a écrit:Bien sûr, avec cette définition on peut justifier exp(z+w) = exp(z) * exp(w) (binôme de newton il me semble) et du coup ma preuve fonctionne.

J'ai pas le temps de trouver où, mais j'ai l'impression qu'avec juste des connaissances de terminale, on se mord la queue pour prouver cos²(x) + sin²(x) = 1 par les exponentielles complexes...


J'ai compris le principe de raisonnement circulaire, mais j'avoue ne pas comprendre pourquoi est-ce qu'on se mordrait la queue en utilisant les exponentielles complexes pour la démonstration.

De la même manière, au niveau terminal, exp(z + x) = exp(z) * exp(w) est une propriété admise. Pour la démonstration, il suffit de dériver la fonction pour y fixer.

On obtient alors f'(x) = 0, donc la fonction f(x) est constante et f(0) = exp(y) d'où exp(x + y)/exp(x) = exp(y) soit exp(x + y) = exp(x) exp(y)

 

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