Minoration du ppcm des n premiers entiers

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Savez-vous démontrer ce résultat :

pour .

J'en connais une preuve analytique astucieuse, j'attends vos preuves.

Amusez-vous bien!

:lol3:

[Ericovitchi]

J'ai une bête réponse mais je ne suis pas sûr :
Il y a un théorème assez facile à démontrer qui dit que :
PPCM(a,b) x PGCD (a,b) = ab

Donc PPCM(1,2,...,n) = 1x2x...xn (car le PGCD = 1)
donc il ne suffit plus que de démontrer que et comme on devrait y arriver

[yos]

PPCM(1,2,...,n) = 1x2x...xn

Tu as essayé avec n=6 (ou 7)?

[leon1789]

J'ai une bête réponse mais je ne suis pas sûr :
Il y a un théorème assez facile à démontrer qui dit que :
PPCM(a,b) x PGCD (a,b) = ab

oui, c'est un théorème.

Donc PPCM(1,2,...,n) = 1x2x...xn (car le PGCD = 1)

non : tu appliques le théorème valable pour 2 entiers a,b à plusieurs entiers !
Pose simplement n=4 et tu comprendras.

EDIT : Bon... grilled by yos, one more time...

[Ericovitchi]

ha oui j'ai généralisé un peu vite :triste:

[yos]

Soit .
On doit avoir .
J'ai essayé d'exploiter ça sans trop de succès.

[lapras]

Yo,
on peut montrer que (n parmis 2n) divise ppcm(1,2,...,n).
fini je crois !

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Lapras, comment montres-tu cette divisibilité?

[yos]

(n parmis 2n) divise ppcm(1,2,...,n).

(n parmi 2n) est bien plus grand que ppcm(1,...,n)

[ffpower]

(n parmi 2n) est bien plus grand que ppcm(1,...,n)

oui,on a (n parmi 2n)>4^n/(2n) et ppcm(1...n)<3^n,donc c'est mal barré^^

[Nightmare]

Si besoin je donnerai un indice de ma preuve analytique mais j'aimerai bien qu'un arithméticien trouve une belle solution (moi, en bon nul que je suis en arithmétique, je ne trouve rien)

[lapras]

Pardon j'ai tapé trop vite je voulais dire (n parmi 2n) divise ppcm(1,2,...,2n)
(et non ppcm(1,2,...n) ).

[yos]

je voulais dire (n parmi 2n) divise ppcm(1,2,...,2n)

En effet! Je connaissais pas.
Le résultat de Lapras découle de l'inégalité
,
laquelle est "directe".
Ensuite on a .
Donc c'est pas tout à fait gagné.

[lapras]

Ok j'avais pas vérifié l'inégalité on est encore un peu loin du 4^n. Je ne crois pas que cette méthode soit utile pour le résultat.
Nightmare, c'est quoi une démo "analytique" ?

[Ericovitchi]

Il parait qu'il y a une méthode qui commence comme ça :
Il faut d'abord dire que le p. p. c. m. dn est égal au produit des nombres premiers pi inférieurs ou égaux à l’entier n, élevés à des puissances i égales aux parties entières du rapport ln n sur ln pi ; c’est-à-dire :
avec

Ensuite on pars de
On montre la majoration
puis que le PPCM est divisible par tout entier n+k+1 lorsque k varie de 0 à n. On en déduit que est un entier
et à l'aide de la majoration de on en déduit un majoration de

Tout ces trucs là tournent autour des théorèmes de minoration de la fonction de répartition des nombres premiers genre Tchebychev. Voir http://capes-math.org/2008/ep2_2008.pdf par exemple

[Ericovitchi]

Il y a un sujet de concours d'entrée où ils ont planché sur des trucs qui ressemblent : http://pagesperso-orange.fr/bouju/sujets/p02mp2.pdf

[lf69100]

Il y a peut être une piste en remarquant que n# (la primorielle de n) MINORE ppcm (1, 2,..., n) : il s'agit des mêmes facteurs premiers, ne différant que par la puissance.
:id:
Comme cette primorielle a pour comportement asymptotique exp(n), il ne serait pas étonnant qu'elle soit minorée par 2^n, aux idiosyncrasies initiales près.

Toutefois, aux faibles valeurs, 2^n peut être plus exigeant : ainsi, 29#>2^29 mais 28# <2^28.
:help:
* Quelqu'un a-t-il une idée du chaînon manquant (arithmétique de préférence) ?
* Sinon, la minoration par la primorielle sera un propriété collatérale plutôt qu'intermédiaire.

[t.itou29]

Je vais peut-être dire n'importe quoi mais est-ce que c'est possible par récurrence ?
Si on suppose l'inégalité vraie à un rang n, alors au rang n+1 comme n+1 est strictement supérieur à 1,2,3...,n il y a deux possibilités:
-n+1 est premier et dans ce cas c'est bon: PPMC(1,2,3...,n+1)=(n+1)PPCM(1,2,3,..,n)>=2^(n+1)
-n+1 n'est pas premier mais il doit posséder au moins un facteur premier, p, donc la puissance est strictement supérieure à celle de ce même facteur dans la décomposition de 1,2,...,n. On alors PPCM(1,2,3,...,n+1)>=p*PPCM(1,2,...,n)>=2^(n+1)
Je pense que c'est faux mais au moins j'aurais essayé...