Série de Taylor

[barbu23]

Bonsoir à tous,

Quant est ce que une fonction réelle à valeurs réelle, de classe coïncide avec sa série de Taylor correspondante ? Je cherche une condition nécessaire et suffisante.

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Salut,
Une C.N.S, O.K., mais portant sur quoi ?
parce que j'ai bien peur qu'à part la définition, tu ait pas grand chose d'autre de plus simple...

[barbu23]

Salut @Ben :
coïncide avec sa série de Taylor sur si et seulement si ... ?
Pour être claire, peux tu m'expliquer ce qui manquait dans l'argumentation de Pablo pour que sa réponse soit juste : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,947367 ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Ben ce qui ne va pas, c'est justement qu'en toute généralité, pour les fonctions de la variable réelle, même lorsque est de classe au voisinage de et que la série entière a un rayon de C.V. non nul, il n'y a pas de raison que pour proche de 0...
LE exemple classique c'est pour et : f est et, pour tout , donc pour tout (et le rayon de C.V. de la série est infini).
Or pour tout ...

Pour s'assurer que S(x)=f(x), il n'y a pas 36 méthodes à ma connaissance, il faut majorer le reste d'ordre n à l'aide d'une des formule de Taylors et montrer qu'il tend vers 0 (ou bien montrer que la fonction se prolonge même un tout petit peu dans le plan complexe au delà de la droite réelle en restant -dérivable...)

Résumé : la preuve proposée ne marche que si l'on suppose f analytique (i.e. égale à la somme de sa série de Taylors) alors qu'une preuve plutôt plus simple montre que le résultat est vrai même si f n'est pas analytique.

[barbu23]

Merci beaucoup. :happy3:

[adrien69]

Pour s'assurer que S(x)=f(x), il n'y a pas 36 méthodes à ma connaissance, il faut majorer le reste d'ordre n à l'aide d'une des formule de Taylors et montrer qu'il tend vers 0 (ou bien montrer que la fonction se prolonge même un tout petit peu dans le plan complexe au delà de la droite réelle en restant -dérivable...)

Question con, je me demandais s'il ne suffisait pas que le reste soit uniformément borné ?

[mr_pyer]

Bah avec l'exemple de Ben314, le reste est borné par 1 sur .
Je dois avoir mal compris ta question...

[adrien69]

Bah avec l'exemple de Ben314, le reste est borné par 1 sur .
Je dois avoir mal compris ta question...

Comme on peut le voir j'ai posé cette question assez tôt. Il faut savoir que j'étais allé courir juste avant. Ça me dédouane de ma connerie ?

[mr_pyer]

Comme on peut le voir j'ai posé cette question assez tôt. Il faut savoir que j'étais allé courir juste avant. Ça me dédouane de ma connerie ?

Oh, j'ai pas besoin de me lever tôt pour en raconter moi... :zen: