Equations polynomiales

[alphabetagamma]

bonjour
quelqu un sait il jusqu a quel degre on sait resoudre les équations polynomiales?????
merci pour la reponse
:hein:

[Ben314]

Salut,
Tout dépend de ce que tu appelle "résoudre" : est-ce que tu veut l'expression exacte des solution ? Si oui, sous quelle forme ?
LE résultat "classique", c'est qu'à partir du degrés 5, on ne peut plus exprimer à l'aide uniquement de radicaux les solutions d'une équations polynomiales générique.
Attention à bien comprendre ce que cela signifie :
- Il y a évidement des "cas particulier" où on peut exprimer les solutions à l'aide de radicaux, par exemple X^n-1=0 !
- On peut évidement systématiquement exprimer les solutions à l'aide de fonctions "inventées pour" (exactement comme on invente les fonction exp et ln pour résoudre des problèmes qu'on ne sait pas résoudre sans ça)
- Il y a évidement des tas de méthodes (plus ou moins rapides) pour déterminer aussi précisément que l'on veut les solution d'une équation polynomiale (et c'est pas clair qu'on soit plus avancé lorsque l'on a la soit disant "valeur exacte" sous une forme archi compliqué, comme c'est le cas pour les équations génériques de degré 3 et 4)

[alphabetagamma]

je parle de valeurs exacte je crois que le degre 5 a été resolu mais est on alle plus loin?????? :hein:

[Ben314]

je parle de valeurs exacte je crois que le degre 5 a été resolu mais est on alle plus loin?????? :hein:

(re) Qu'est ce que tu appelle "résoudre" ?
Si c'est juste donner une formule sans précision su la formule en question, on peut "résoudre" absolument n'importe quoi en inventant la fonction "qui va bien".
Par exemple, est ce que tu considère qu'on a "calculé" la valeur de lorsque l'on dit que c'est ?


On sait depuis assez longtemps que, à partir du degré d=5 (inclus) il est impossible de "résoudre" une équation polynomiale générique de degré d dans le sens qu'on sait qu'il est impossible d'en exprimer les solutions uniquement à l'aide de radicaux (et évidement addition, multiplications).

Ce résultat remarquable a été trouvé par le fameux Évariste Galois vers 1830.

[alphabetagamma]

j appelle resoudre : trouver une formule tel qu en la remplacant dans l equation on trouve 0
merci :hein:

[Ben314]

j appelle resoudre : trouver une formule tel qu en la remplacant dans l equation on trouve 0
merci :hein:

Alors... on sait tout résoudre...
En effet, si j'ai à résoudre l'équation f(x)=0, modulo d'avoir montré qu'elle a au moins une solution, il me suffit de dire que je POSE x0=une solution et... j'ai résolu l'équation : par définition même de x0, si je remplace x par x0 dans la formule, ça fait bien 0...

C'est à cause de ce type de raisonnement que je te demandais ce que tu entend par "résoudre" : si on ne précise pas précisément (sic) sous quelle forme on veut que la solution soit donné alors ça ne veut plus dire grand chose "résoudre".
Pour bien t'expliquer le fait que c'est très important de préciser le "avec quoi" on exprime la solution, on peut donner l'exemple de l'équation qui, (j'espère que tu le sait), a pour "solution" (log décimal)
Avec ça tu est vachement content : tu as "résolu" l'équation...
SAUF QUE, si tu tombe sur un type qui sait pas ce que c'est que le log. (décimal en l'occurrence) et qui te demande de le définir, tu va évidement lui dire que, PAR DEFINITION, on dit que lorsque et là, le type va te rire au nez et te disant qu'en résumé, tu as rien "résolu" du tout (et il aura au fond bien raison !!!)

Donc mon premier exemple çi dessus te parait surement idiot, mais réfléchis y à deux fois : lorsque tu dit que (toujours par exemple), "une solution de est ", est-ce que tu as vraiment "résolu" quelque chose ou bien... est ce que ce n'est pas uniquement que tu as donné un nom à un truc que tu ne sait pas exprimer plus simplement ?

[adrien69]

Après tu dis ça Ben, mais je suis absolument convaincu que tu as déjà écrit dans un des sujets donné à tes étudiants : "résoudre l'équation unetelle" ;)

[Ben314]

Effectivement, en algèbre linéaire, j'utilise régulièrement le terme "résoudre le système blablabla", (mais je me démerde systématiquement pour que les solutions soient entières donc le "avec quoi on exprime les solutions" est assez simple.)

Là où tu as aussi raison, c'est que, si alphabetagamma avait demandé "pouvez vous m'aider à résoudre truc bidule", je n'aurais pas "fait le mariole" : j'aurais essayer d'exprimer les solutions à l'aide des truc les plus élémentaires possibles.

Sauf que là, la question ne concerne pas UNE équation, mais toute une famille d'équation et dans ce cas le terme "résoudre" est clairement "à définir".
A mon sens, c'est le même problème que si tu disait à un collégien que la solution de 2^n=8 est ln(8)/ln(2) : pour lui, tu aura rien "résolu" du tout vu qu'il sait pas ce qu'est un log.

Si tu as une VRAI réponse à une question du type "jusque a quel degre on sait resoudre les équations polynomiales ?", vas y. Moi, personnellement, si je veut pas simplifier l'énoncé en faisant comme si la question était "quels sont les polynômes dont on peut exprimer les zéros à l'aide de radicaux ?", j'ai pas de réponse.
De plus, si tu cherche un peu, tu verra qu'effectivement, la réponse "sérieuse" dépend... grandement des outils qu'on se donne...
C'est comme en géométrie, si on te demande "peut-on trisecter un angle ?", tu répond quoi ?

Pour compléter mon propos, prenons l'exemple des équations polynomiales de degré 5. On sait que :
- Dans le cas général, il n'est pas possible de les résoudre par radicaux (théorie de Galois)
- Dans le cas général, on peut exprimer les solutions à l'aide des fonctions elliptiques.
Donc sans précision, il faut répondre quoi à la question "sait-on résoudre les équations polynomiales de degré 5 ?"
(sans compter que, pour les degré supérieurs, tu peut évidement inventer des fonctions équivalentes aux fonctions elliptiques pour le degré 5 et qui te permettrons d'exprimer les solutions de ton équation à l'aide de ces fonctions.

Mais je le redit : si tu as une réponse précise et... juste... à la question, ne te gène pas...