Produit scalaire

[cassou2]

Bonjour,
j'ai un exercice sur le produit scalaire mais je suis complètement perdue, je n'y comprend rien, si vous pouviez me donner des indices pour que je comprenne comment faire....
Je vous remercie

Dans un repère orthonormal (O, vecteur i, vecteur j) une droite d à pour équation ax +by+c=0 (a et b non nul)
A est un point de coordonnées (Xa,Ya) et A' est le projeté orthogonal de A sur la droite d.
On se propose ici de calculer la distance AA' en fonction de a,b,c,Xa,Ya. Cette distance est appelée distance du point A a la droite d, c'est la plus petite distance du point A à un point de la droite d.

1) Le vecteur n de coordonnées (a,b) est normal à d
justifier que norme de (vecteur n. vecteurAA')= norme de vecteur n*AA'= racine carré de (a²+b²)*AA'

2) A' est un point de d. Si on note ses coordonnées (Xa,Ya), alors axa+bya+c=0
Calculer les coordonnées du vecteur AA' et démontrer que norme de (vecteur n. vecteurAA')= norme de (axa+bya+c=0) et AA'= norme de (axa+bya+c=0)/ racine carré de (a²+b²)

1)grâce a la première partie calculer dans chaque cas la distance de M à la droite d

a) M(1;4) d 2x-y-6=0
je voudrais juste une démonstration car je pense quil faut faire d/ 1²+4² mais je ne suis pas sure

2)tangente à un cercle

a) donner l'équation du cercle de centre I(5;1) et tengent à la droite d'équation x+y-4=0

b) A chaque réel m, on associe la droite dm d'équation réduite y= mx+ racine carré de (1+m²)
Montrer que les droites dm ( m appartenant Erreur! signet non défini) dont tangentes à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Je vous remercie

[capitaine nuggets]

Salut !

Où bloques-tu ?

[capitaine nuggets]

1) Le vecteur n de coordonnées (a,b) est normal à d
justifier que norme de (vecteur n. vecteurAA')= norme de vecteur n*AA'= racine carré de (a²+b²)*AA'

Pour la première égalité : les vecteurs et sont colinéaires (pourquoi ?) donc immédiatement, on en déduit que .

Pour la seconde égalité : Utilise le théorème de Pythagore.

[siger]

bonsoir

le produit scalaire de deux vecteurs A et B est
A.B = |A|*|B| * cos(A,B)
par suite si les vecteurs sont colineaires ( cos(A,B) =1) on peut ecrire A.B =| A|*|B|

1
n et AA' perpendiculaires a d sont colineaires et .....
2
soit A1 le point sur d
les coordonnees de AA1 sont
xA-XA. et yA-YA
le produit scalaire est alors par definition
n.AA1= a*(xA-XA)+b*(yA-YA) soit axA + byA + c avec c= aXA + bYA
d'autre part on peut ecrire
n.AA1 = n*AA' puisque A' est la projection orthogonale de A1 sur n, ......

le rayon du cercle tangent a une droite D est la distance de son centre a D.....

[Juju24]

Bonjour,

J'ai à réaliser le même exercice dans le cadre d'un devoir maison. Je l'ai presque terminé mais je bloque toujours pour la question 2b. J'ai fait des recherches mais rien de bien concluant
J'ai essayé de faire un système à double équation, en utilisant l'équation réduite de dm y= mx+ racine carré de (1+m²) et en cherchant l'équation de la droite qui me semblerait être (x-m)² + (y+1)² = mx-y.
La valeur du rayon soit de mx-y je l'ai trouvé ne utilisant la formule précédente dans la question 2 de la partie 1.
Le système d'équation serait donc selon mes calculs s'ils sont juste :
y = mx+ racine carré de (1+m²)
(x-m)² + (y+1)² = mx-y
Si on remplace par substitution cela donnerait
y = mx+ racine carré de (1+m² )
(x-m)² + (mx + racine carré (1+m²)-1) = mx-y
Mais après je ne sais pas quoi faire, pas vraiment ce qu'il faut trouver et je ne sais même pas si c'est nécessaire de faire ceci.

Merci de me donner quelques indices car la je suis perdu.

[cassou2]

Bonjour juju 24

je voulais savoir comment tu as fait pour la question 2 de la partie A et le reste de la partie B car on y arrive pas :mur:

[siger]

Re

L'equation d'une droite ne peut pas comprendre des valeurs de x ou de y au carré!!!!!!
et le rayon doit etre constant quelque soit m si le cercle est fixe, donc pas egal a mx-y

on a y = mx + V(1+m²) qui peut s'ecrire
mx - y + V(1+m²) = 0
on peut donc calculer la distance du centre du cercle C(xc,yc) a la droite (questions precedentes)
soit d² = R² = (mxc -yc + V(1+m²))²/(1+m²)
le cercle cherché doit avoir alors comme equation
(x-xc)² + (y-yc)² = (mxc -y + V(1+m²))²/(1+m²)

cette equation ne doit pas dependre de m, i.e. les coefficients des puissances de m doivent etre nuls....
ce qui conduit a determiner xc et yc, puis R

[siger]

Re

L'equation d'une droite ne peut pas comprendre des valeurs de x ou de y au carré!!!!!!
et le rayon doit etre constant quelque soit m si le cercle est fixe, donc pas egal a mx-y

on a y = mx + V(1+m²) qui peut s'ecrire
mx - y + V(1+m²) = 0
on peut donc calculer la distance du centre du cercle O a la droite (questions precedentes)
soit d² = R² = (m*0 -0+ V(1+m²))²/(1+m²)= (1+m²)/(1+m²) = 1
qui ne depend effectivement pas de m
le cercle cherché de centre O, doit avoir alors comme equation
x²+y²= 1

[paquito]

Si , alors est unitaire et ; donc si B( ) est un point de (D): , , donc et d=