Limites d'une fonction et sa dérivée

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

Aujourd'hui un élève a fait une remarque que j'ai trouvée pas mal pendant le cours de Maths :

Soit une fonction continue sur et telle que
Cet élève dit :
Alors : (où F est une primitive de f sur )

Le prof' a dit qu'on ne peut pas raisonner comme ça
Les élèves ont tous raisonné graphiquement, en disant que le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse à F tend vers 1 et DONC que la limite de F en est

Je suis arrivé à le démontrer

Mais là je me pose la question suivante :

Peut-on généraliser cela ainsi ?

Si f est une fonction continue sur et qui est convergente, on peut établir que :


Comme j'ai démontré cela pour la limite de f étant 1, je peux démontrer la réciproque, mais pas l'implication

Merci de m'aider, c'est intéressant

[Ericovitchi]

non, on peut avoir des intégrales qui tendent vers l'infini avec une fonction qui tend vers 0. Exemple 1/x .
Par contre tu as raison, si la fonction ne tend pas vers 0 alors l'intégrale sera forcement divergente (l'aire sous la courbe en est une bonne illustration).

[upium666]

non, on peut avoir des intégrales qui tendent vers l'infini avec une fonction qui tend vers 0. Exemple 1/x .
Par contre tu as raison, si la fonction ne tend pas vers 0 alors l'intégrale sera forcement divergente (l'aire sous la courbe en est une bonne illustration).

Intéressant :we:
Vous avez raison
Mais est-ce que la réciproque de la proposition que j'ai énoncée est vraie quand même ?

çàd

[Cliffe]

On parle de primitive, pas d'intégrale.

Si je résume, ta question c'est : si la dérivé d'une fonction est strictement positif en l'infini, est-ce que cette fonction tend vers l'infini ?

[Ericovitchi]

implique oui, équivalent non.

(c'est quoi le coefficient directeur d'une fonction ? :hein: )

[upium666]

Je me propose pour démontrer l'implication :

est convergente
On note sa limite strictement positive
Par définition veut dire :
Il existe un réel tel que tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de f pour tout

alors tel que
Par intégration, on a où C est une constante d'intégration
D'après le théorème de la comparaison :

[Ericovitchi]

Oui, excellente démonstration.

[upium666]

Oui, excellente démonstration.

Merci, mais je ne suis pas convaincu d'une implication que j'ai faite :

Quand on a : où est une constante : pourquoi a-t-on le droit de dire que (où b est une constante d'intégration) ?
Parce que si au lieu de , on met par exemple , je pense qu'on n'a pas le droit de dire que

[Ericovitchi]

tu intègres des deux cotés.
si f(x) > g(x) alors

[upium666]

tu intègres des deux cotés.
si f(x) > g(x) alors

Intégrer, je suis d'accord
Mais primitiver ? :/ ...

[Ericovitchi]

Si tu intègres de 0 à x, ou de a à x, c'est comme primitiver.

[upium666]

Si tu intègres de 0 à x, ou de a à x, c'est comme primitiver.

D'accord
Mais ce que vous dites ne marche-t-il que pour a<x ?

[Ericovitchi]

x tend vers l'infini donc on peut prendre n'importe quel a, x finira toujours par être plus grand que a.

[paquito]

Si pour t>a, tu as f(t)>t, alors F(x)=>, mais ceci est valable pour x>a et F est la primitive de f qui s'annule pour x=a.

[upium666]

D'accord, merci
C'est plus clair