Exercice sur les fonctions - 1ère ES

[sara97]

Bonjour, j'ai un DM à rendre lundi et je suis bloquée à l'une des questions d'un exercice dont voici l'énoncé :
La fonction f est de la forme : f(x) = ax + b + (c/x+1)
Sachant que f(0) = 0, f(2) = 4 et que la fonction admet un maximum en 2, déterminer les réels a, b et c.
En déduire l'expression de f(x).

Ayant un peu de difficultés en maths, je n'en suis que là :
f(0) = 0 donc 0 = 0a + b + (c/1)
f(2) = 4 donc y = 2a + b = (c/3)
Et je ne sais pas quoi faire ensuite… Un système (que je n'arrive jamais à résoudre entièrement)… ?

Si quelqu'un aurait l'amabilité de m'expliquer la suite du protocole ou au moins de me guider légèrement, je lui en serais extrêmement reconnaissante :lol3:

Merci d'avance et bonne journée !

[landagama]

* Avec f(0)=0, tu obtiens : b+c=0, ceci équivaut à c=-b.
* Avec f(2)=4, tu obtiens : 2a+b+c/3=4, et tu peux remplacer c par -b, ce qui te donne : 2a+b-b/3=4, puis tu regroupes les b : 2a+(3b/3)-(b/3)=4 2a+(2b/3)=4.
Tu peux tout diviser par 2 pour simplifier un peu : a+b/3=2 (*).
* La dernière chose que tu n'as pas utiliser est que la fonction f admet un maximum en 2. Alors comment l'exploiter ? Hé bien, tu auras que f '(2)=0 [la tangente au sommet est horizontale donc son coefficient directeur est nul].
Donc tu dérives f(x)=ax + b + (c/x+1)=ax+b-b/(x+1) [j'ai encore remplacé c par -b].
Tu devrais obtenir f '(x)=a+b/(x+1)².
Et ensuite tu écris que f '(2)=0 et avec (*) tu trouveras a et b.
Je te laisse finir tout ça et te souhaite bon courage.
Si ça te dit de visiter mon blog de maths : exercices de maths en vidéo

[sara97]

Merci infiniment !! Seulement désolée, mais je ne comprends pas tellement l'histoire de la tangente… Quel est le lien ? :/

[radoude]

Merci infiniment !! Seulement désolée, mais je ne comprends pas tellement l'histoire de la tangente… Quel est le lien ? :/

S'il n'y avait qu'une seule chose à retenir sur la dérivée d'une fonction en un point ce serait ceci:
La valeur que prend la dérivée d'une fonction en un point d'abscisse "a" est la pente (= coefficient directeur) de la tangente en "a" au graphe de la fonction.