Petite question "élémentaire"

[mr_pyer]

Bonjour à tous !

et sont deux nombres positifs. La fonction est croissante sur ssi .

Quelqu'un peut-il m'aider à le démontrer ?
Merci d'avance...

P.S. : J'ai une solution qui est loin d'être satisfaisante. En fait je suis sûr que je loupe un argument de convexité caché quelque part...

[mr_pyer]

Je me réponds tout seul :id:

Il suffit d'écrire ...

Edit. Enfin, ça résout le problème lorsque a=0 :mur:.

[Robic]

Une petite idée : le produit de deux fonctions croissantes n'est pas forcément une fonction croissante. Mais si elles sont positives, c'est vrai. Ici, les facteurs , et correspondent à des fonctions positives, puisqu'on est sur ]0,1[. De plus la troisième fonction est croissante. Donc le problème revient à étudier la fonction . Peut-être n'est-il pas trop compliqué de la dériver ?

Je viens de commencer les calculs... mais je ne trouve pas le bon résultat (et puis il y a pas mal de cas particuliers).

[mr_pyer]

Je te remercie de t'intéresser à mon problème :we:

Ce que tu me proposes ne fonctionne pas avec a=b=1 puisque n'est pas croissante sur ]0,1[ alors que l'est.

Je sais démontrer la caractérisation croissante sur ]0,1[ ssi à l'aide de propriétés des fonctions hypergéométriques mais je suis convaincu qu'il y a plus simple : même un élève de 1ère comprendrait la question... !

[Robic]

Ah oui, en fait mon idée ne donnerait qu'une condition suffisante : si était croissante, alors la fonction complète le serait. Mais ce n'est pas réciproque.

[fatal_error]

slt,

un peu brouillon mais ca doit se tenir


donc

le produit de deux fonctions croissantes est une fion croissante.
EDIT: seulement si elles sont positives (j'ai pas regardé la positivité....)
(1+x)/(1-x) a pour dérivée 2/(1-x^2)..
donc on veut trouver a et b tels que
est croissant.
On factorise par l'angle moitié:

sh est croissante sur R
on cherche donc la croissance de :

puis pour x positif, le signe est donné par le signe de

[jlb]

Salut, petit pb, non?

slt,



donc....[/TEX]

[fatal_error]

roh p******, superbe factorisation!

[jlb]

bon, sauf grosses erreurs fortement envisageable!!, on dérive f, il reste à étudier le signe de h(x)= a + (1-a)x-(a+b)x^b + (a+b-1)x^(b+1)

h'(x) = (1-a) - b(a+b)x^(b-1) + (b+1)(a+b-1)x^b

h''(x)= -b(b-1)(a+b)x^(b-2) + b(b+1)(a+b-1)x^(b-1)

avec une petite considération sur l'expression de h'' et h''(1) = b(2a+b-1)=>0, on en déduit que h''(x)=>0 sur ]0,1[

ainsi h' est croissante sur ]0,1[ mais h'(1)=0 donc h'(x)<=0 sur ]0,1[

et donc h est décroissante sur ]0,1[ mais h(1)=0 donc h est positive sur ]0,1[ et donc f est croissante sur ]0,1[ voili, voilou, effectivement niveau lycée...

@ mr_pryer: c'est quoi une fct hyper géométrique? et comment tu obtiens le résultat par curiosité car pour moi cela n'a aucun intérêt tout cela!!! tu cherches ce résultat dans quel but? cela a-t-il une application sympa? merci

[jlb]

salut, a priori, en dérivant f et en étudiant le signe de la dérivée, le résultat et la condition apparaissent .

{En gros, étude sérieuse de h(x) = a + (1-a)x - (a+b)x^b +(a+b-1)x^(b+1), dérivée seconde avec 2 cas à traiter, utilisation de h(1), h'(1),h''(1) qui donne des valeurs intéressantes}

après, il faut vérifier, c'est loin d'être sur!!! elle sert à quoi cette fct f?? c'est quoi une fct hypergéométrique et comment obtiens-tu le résultat?

[mr_pyer]

c'est quoi une fct hypergéométrique et comment obtiens-tu le résultat?

Par exemple on note où désigne le symbole de Pochhammer.

est log-concave sous certaines conditions. Ainsi, la fonction est log-concave lorsque b1. De là on déduit la propriété assez facilement.

[jlb]

Ok, merci et on utilise cela dans quel domaine?

[mr_pyer]

Ici cela permet de démontrer que a une loi auto-décomposable, où suit la loi Beta de paramètre (a,b).

Sinon ces fonctions hyper-géométriques apparaissent comme solutions de certaines équations différentielles. Un exemple,
est solution de l'équation différentielle , on peut aussi écrire .
C'est pas l'exemple le plus impressionnant je le conçois...

[wserdx]

Bonjour,
J'ai jeté un oeil à ce problème qui me semble assez difficile!
La dérivée logarithmique vaut :

J'ai cherché les limites en 0 et 1 de ce machin qui sont respectivement
et . (note pour la deuxième limite, j'ai demandé à wolfram... :hein: )
Une condition nécessaire pour que la fonction de départ soit croissante est donc :

Pour la condition suffisante, je ne vois pas trop :hum: (étudier la décroissance de la dérivée ?)