Polynome et base

[blaster]

En fait le probleme je vois pas pourquoi tu trouves
A(X)=(X+1)-X.

[bentaarito]

[A(P)](X)= P(X+1)-P(X)

Ici P(X)=X d'où le résultat

(Attetion à bien distinguer X le polynôme et X l'indéterminée!!! )

[Robic]

Pour chaque polynôme P, tu dois commencer par écrire P(X) = ... puis P(X+1) = ...

Par exemple supposons que P(X) = 2X + 2.

Dans ce cas :
- P(X) = 2X + 2 (là je recopie la définition).
- P(X+1) = 2(X+1) + 2 (là je remplace X par X+1) = 2X + 4.

Du coup :
A(P(X)) = P(X+1) - P(X) = (2X + 4) - (2X + 2) = 2.

Il faut maintenant faire pareil avec P1(X) = 1, puis avec P2(X) = X, puis avec P3(X) = X².

[bentaarito]

Du coup :
A(P(X)) = P(X+1) - P(X) = (2X + 4) - (2X + 2) = 2.

L'écriture A(P(X)) n'a pas trop de sens.. Mais bon...

[blaster]

A(1) = 1
A(x)=1
A(x²)=1 ?

[bentaarito]

A(1) = 1
A(x)=1
A(x²)=1 ?

Misère...

[bentaarito]

A(1) = 1-1=0
A(x)=X+1-X=1
A(x²)=...???

[blaster]

A(x²) = (x+1)²-x²=2x+1

[bentaarito]

ouiii!

et donc les coordonnées de A(x²) sont?

[Robic]

L'écriture A(P(X)) n'a pas trop de sens.. Mais bon...

N'oublie pas que A est l'application linéaire, pas sa matrice comme tu le disais plus haut. Donc A(P(X)) ne me paraît pas si idiot (je préfère A(P) si on identifie le polynôme à la fonction polynomiale associée, sinon ça devrait être [A(P(X))](X) je crois...)

[blaster]

A donne (0 1 1)
(0 0 2)
(0 0 0)

[Robic]

Exact ! C'est bien la matrice.

Mais bon, ce qu'on voulait, c'était une base de l'image de A. Donc ici, on sait que les vecteurs 0, 1 et 1+2X (ce sont les images de 1, X et X²) forment une famille génératrice de Im A, donc il suffit d'en choisir deux qui ne sont pas colinéaires, en sachant que les vecteurs de base doivent être non nuls.

Bref, au bout d'un moment tu vas voir que Im A n'est autre que l'ensemble des polynômes de degré <= 1.

En tout cas j'espère que tu as avancé en te disant « ah d'accord, en fait c'était tout simple ! » et pas en te disant « bon, je fais comme ils me disent, mais je me demande bien où on va »... :lol3:

[blaster]

J'ai donc comme vecteurs des bases 1 et 1+2X ? Je pense avoir compris comment ca marche meme si je t'avouerais qu'avec les polynomes je trouves ca pas simple du tout

[Robic]

Oui, les polynômes 1 et 1+2X conviennent comme base de Im A. Mais si tu es malin, tu noteras que 1 et X conviennent aussi, puisqu'ils engendrent le même sous-espace (les polynômes de degré <= 1). C'est vrai qu'avec les polynômes ça complique un peu, parce que c'est plus abstrait qu'avec des vecteurs et leurs coordonnées, mais tu as intérêt à bien comprendre parce que ce type d'exercice est très classique.

[blaster]

Merci beaucoup de votre aide Robic et bentaarito ! J'ai compris comment faire avec des polynomes maintenant, puisque j'arrive à faire d'autres exercices :)

[Robic]

Ça c'est une bonne nouvelle !