Polynome et base

[blaster]

1 oui mais (0,0,1) je vois pas c'est quoi

1 oui, excuse moi. Cela veut dire que la dimension du noyau est de 1. La dimension de E est 3. Donc la dimension de l'image est 2, c'est bien ça ?
J'ai une autre question par rapport à la base d'une image. Si je veux trouver la base d'une image, je calcule le rang de la matrice A(3x3). Si par exemple, j'ai rg f = 2 et ma première colonne est non proportionnelle à ma deuxième, cela forme ma base ?

[Robic]

En effet le polynôme 1 convient comme base de Ker A.

Attention : ses coordonnées dans la base (1,X,X²) sont (1,0,0), pas (0,0,1) !

Pour l'image, je ne comprends pas trop ta méthode (c'est peut-être juste, mais je ne fais pas comme ça d'habitude). Pour moi, puisque le rang de la matrice, c'est la dimension de l'image de l'application linéaire associée, calculer le rang sert surtout à connaître la dimension de l'image. Or tu la connais depuis le calcul du noyau.

La méthode que j'utilise en général, c'est de calculer l'image des vecteurs de la base de l'espace de départ. On sait que pour une application linéaire f:E-->F, si B est une base de E, alors f(B) est une famille génératrice de Im f. Cette méthode ne fournit donc pas directement la base de l'image, seulement une famille génératrice. Mais si on connaît par ailleurs la dimension de l'image (dans cet exercice c'est maintenant le cas), on sait qu'il suffira d'extraire, parmi les vecteurs de f(B), le nombre requis (en vérifiant qu'ils forment bien une famille libre).

Ici, si B est la base (1,X,X²), il faut donc calculer A(B) c'est-à-dire (A(1), A(X), A(X²)), ce qui va donner une famille de trois vecteurs, donc on sait (puisque la dimension de l'image est 2) qu'il suffit d'en extraire deux. Il faudra juste vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires (ainsi la famille est libre : c'est une base).

Je crois qu'il faut absolument connaître cette méthode, c'est vraiment la base.

[bentaarito]

Je crois qu'il faut absolument connaître cette méthode, c'est vraiment la base.

Oui c'est la base de l'image :ptdr:

Si par exemple, j'ai rg f = 2 et ma première colonne est non proportionnelle à ma deuxième, cela forme ma base ?

Plus sérieusement, ta méthode est correcte pour trouver une base ici, mais je la recommande pas. Celle de Robic est plus naturelle et marche à tous les coups

[blaster]

En effet le polynôme 1 convient comme base de Ker A.

Attention : ses coordonnées dans la base (1,X,X²) sont (1,0,0), pas (0,0,1) !

Pour l'image, je ne comprends pas trop ta méthode (c'est peut-être juste, mais je ne fais pas comme ça d'habitude). Pour moi, puisque le rang de la matrice, c'est la dimension de l'image de l'application linéaire associée, calculer le rang sert surtout à connaître la dimension de l'image. Or tu la connais depuis le calcul du noyau.

La méthode que j'utilise en général, c'est de calculer l'image des vecteurs de la base de l'espace de départ. On sait que pour une application linéaire f:E-->F, si B est une base de E, alors f(B) est une famille génératrice de Im f. Cette méthode ne fournit donc pas directement la base de l'image, seulement une famille génératrice. Mais si on connaît par ailleurs la dimension de l'image (dans cet exercice c'est maintenant le cas), on sait qu'il suffira d'extraire, parmi les vecteurs de f(B), le nombre requis (en vérifiant qu'ils forment bien une famille libre).

Ici, si B est la base (1,X,X²), il faut donc calculer A(B) c'est-à-dire (A(1), A(X), A(X²)), ce qui va donner une famille de trois vecteurs, donc on sait (puisque la dimension de l'image est 2) qu'il suffit d'en extraire deux. Il faudra juste vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires (ainsi la famille est libre : c'est une base).

Je crois qu'il faut absolument connaître cette méthode, c'est vraiment la base.

D'accord, merci beaucoup pour cette méthode, je ne la connaissais pas du tout(sous cet angle):).
En fait je demandais si ma méthode pour cette matrice (par exemple) était juste :
M=(-1 -2 -1)
(-2 +2 -2)
(-1 +2 -1)
Le rg est 2après avoir calculer ker f. Ils me faut donc 2 vecteurs non proportionelles et je remarque (-1, -2, -1) et (-2,+2,+2) sont non proportionelles ! J'en conclu qu'ils sont libres et donc qu'ils forment une base. Et en fait je crois que c'est le même raisonnement que toi !

[Robic]

Si M était la matrice de l'application linéaire A dans la base (1,X,X²) (si j'ai bien compris c'est juste un exemple au hasard), alors les deux colonnes de gauche correspondraient à A(1) et A(X), donc puisqu'ils ne sont pas colinéaires, ils formeraient une base de Im A.

[blaster]

Si M était la matrice de l'application linéaire A dans la base (1,X,X²) (si j'ai bien compris c'est juste un exemple au hasard), alors les deux colonnes de gauche correspondraient à A(1) et A(X), donc puisqu'ils ne sont pas colinéaires, ils formeraient une base de Im A.

Ce qui reviendrait à dire que la base de l'image avec ma méthode serait :
(1,4) et (1,-2X-1). Est ce que c'est juste ?

[bentaarito]

NO and NO! tu confonds dès le début vecteurs de R² , R³ et polynômes!!

Commence déjà par nous donner la matrice de A dans la base (1,X,X²)

[Robic]

Reprenons depuis :

Ils me faut donc 2 vecteurs non proportionelles et je remarque (-1, -2, -1) et (-2,+2,+2) sont non proportionelles !

(On suppose toujours que la matrice ci-dessus est la bonne, mais je crois que tu l'as prise au hasard pour l'explication.)

Dans ce cas, tu as la base de Im A : le polynôme P1 de coordonnées (-1, -2, -1) et le polynôme P2 de coordonnées (-2,+2,+2). Les coordonnées sont définies dans la base (1, X, X²), donc P1(X) = -1(1) -2(X) -1(X²) et P2(X) = -2(1) +2(X) +2(X²).

Mais effectivement, commençons d'abord par calculer la matrice de A dans la base (1, X, X²). Autant réfléchir sur la vraie matrice.

[blaster]

Reprenons depuis :

(On suppose toujours que la matrice ci-dessus est la bonne, mais je crois que tu l'as prise au hasard pour l'explication.)

Dans ce cas, tu as la base de Im A : le polynôme P1 de coordonnées (-1, -2, -1) et le polynôme P2 de coordonnées (-2,+2,+2). Les coordonnées sont définies dans la base (1, X, X²), donc P1(X) = -1(1) -2(X) -1(X²) et P2(X) = -2(1) +2(X) +2(X²).

Mais effectivement, commençons d'abord par calculer la matrice de A dans la base (1, X, X²). Autant réfléchir sur la vraie matrice.

Oui effectivement j'ai pris une matrice facile qui n'avait aucun rapport avec l'exo.
En fait je vois pas comment calculer A dans la base (1,X,X²) ! :/ (dès que c'est un polynome, je comprend vraiment plus rien)

[bentaarito]

Oui effectivement j'ai pris une matrice facile qui n'avait aucun rapport avec l'exo.
En fait je vois pas comment calculer A dans la base (1,X,X²) ! :/ (dès que c'est un polynome, je comprend vraiment plus rien)

Tout se passe comme avant, à la différence près que les colonnes maintenant vont représenter les coordonnées de A(1), A(X) et A(X²) dans la base (1,X,X²) par exemple

[Robic]

Prenons le polynôme P(X) = 2X² - 4X + 5. Ses coordonnées dans la base (1, X, X²) sont (5, -4, 2). En effet, P(X) = 5(1) -4(X) +2(X²).

Ici, il faut calculer A(1), A(X) et A(X²) et les écrire sous forme de polynôme, puis tu regardes leurs coefficients.

Par exemple A(X) = (X+1) - X = ... (je te laisse poursuivre)

Une fois les coordonnées de A(1), A(X) et A(X²) calculées, elles forment les colonnes de la matrice.

[blaster]

Prenons le polynôme P(X) = 2X² - 4X + 5. Ses coordonnées dans la base (1, X, X²) sont (5, -4, 2). En effet, P(X) = 5(1) -4(X) +2(X²).

Ici, il faut calculer A(1), A(X) et A(X²) et les écrire sous forme de polynôme, puis tu regardes leurs coefficients.

Par exemple A(X) = (X+1) - X = ... (je te laisse poursuivre)

Une fois les coordonnées de A(1), A(X) et A(X²) calculées, elles forment les colonnes de la matrice.

On a A dans la matrice = ((a+b), 2a, 0) ?

[bentaarito]

On a A dans la matrice = ((a+b), 2a, 0) ?

Ton message ne veut rien dire...
pour rappel, A EST UNE MATRICE 3X3

[blaster]

((a+b) 0 0)
(0 2a 0)
(0 0 0)
C'est ca ?

[bentaarito]

((a+b) 0 0)
(0 2a 0)
(0 0 0)
C'est ca ?

C'est qui a et b??

[bentaarito]

Allez, je sens que y a besoin d'un petit coup de pouce :dodo:

Dans un premier temps, donne nous

A(1)=....
A(X)=.....
A(X²)=....

Une fois on a cela, je te demande de donner leurs coordonnées dans la base (1, X, X²).

Et après.... Bah c'est fini! t'as trouvé la matrice de A :zen:

[Robic]

Blaster, je crois que tu veux aller trop vite !

Je reprends mon dernier message :

Ici, il faut calculer A(1), A(X) et A(X²) et les écrire sous forme de polynôme, puis tu regardes leurs coefficients.
Par exemple A(X) = (X+1) - X = ... (je te laisse poursuivre)

Je poursuis : A(X) = (X+1) - X = X + 1 - X = 1.

Donc A(X) est le polynôme 1. Or 1 = 1 (1) + 0(X) + 0(X²). Ses coordonnées sont donc (1,0,0). Ce sera la deuxième colonne de la matrice.

Fais pareil avec A(1) (pour avoir la première colonne) et A(X²) (pour avoir la troisième colonne).

[blaster]

Allez, je sens que y a besoin d'un petit coup de pouce :dodo:

Dans un premier temps, donne nous

A(1)=....
A(X)=.....
A(X²)=....

Une fois on a cela, je te demande de donner leurs coordonnées dans la base (1, X, X²).

Et après.... Bah c'est fini! t'as trouvé la matrice de A :zen:

A(1)=3a+b
A(X)=a(2X+1)+b=2aX+(a+b)
A(X²)=a(2X²+1)+b=2aX²+(a+b)

donc A = ((3a+b) (a+b) (a+b))
(0 2a 0)
(0 0 2a)

[Robic]

Mais c'est quoi ces a et ces b ?????????????????

1, c'est 1, c'est pas 3a+b.
X, c'est X, c'est pas a(2X+1)+b.
X², c'est X².

Si tu as des a et des b dans tes calculs, c'est que tu ne sais plus où tu en est. Relis le début, récapitule. Là, on est en train de chercher une base de Im A, et on a dit que pour ça, on va calculer les images par A des vecteurs de la base de départ, c'est-à-dire des polynômes 1, X et X². Il n'y a pas de a et de b dans ce bazar, il y a juste 1, X et X² dont on cherche les images par A. Ensuite, il faudra trouver les coordonnées de ces images par rapport à la base (1, X, X²).

[bentaarito]

A(1)=3a+b
A(X)=a(2X+1)+b=2aX+(a+b)
A(X²)=a(2X²+1)+b=2aX²+(a+b)

donc A = ((3a+b) (a+b) (a+b))
(0 2a 0)
(0 0 2a)

Je vois pas à quel moment on avait parlé d'un "a" et d'un "b" ici :doh: