Polynome et base

[blaster]

Bonjour, je viens a vous afin d'avoir peut etre une aide à cet exercice sur les polynomes :

Soit E l'ensemble des polynomes de degre inferieur ou egal à 2. Soit A l'application de E dans E telle que A(P)(X)=P(X+1)-P(X) pour tout P de E.

*Donner une base de E :
Je pense à (1,X,X²)

*Montrer que B=(X²,A(X²),(A(A(X²)) est une base de E :
Je n'ai pas la moindre idée de comment résoudre cette question

*Donner une base du noyau et de l'image de A :
Pour le noyau, j'ai une petite idée (trouver pour quelle valeur, P(0) et P(1) sont égales à 0) mais l'image non pas du tout...

[zygomatique]

salut

tu as un polynome c = x^2

il serait donc bien de calculer Ac et AAc ....

[blaster]

salut

tu as un polynome c = x^2

il serait donc bien de calculer Ac et AAc ....

C'est à dire calculer P(C+1)-P(C) et P(P(C+1)-P(C)) ? Je vois pas à quoi cela me servira :/

[zygomatique]

:cry:

c(x) = x^2

c(x + 1) = ... ?

A(c)(x) = c(x + 1) - c(x) = ... ?

[blaster]

:cry:

c(x) = x^2

c(x + 1) = ... ?

A(c)(x) = c(x + 1) - c(x) = ... ?

Excuse moi, j'étais parti dans autre chose...
c(x+1)=(x+1)²

Donc A(c(x)) = (x+1)²-x²= 2x+1

[zygomatique]

et la suite ? ....

[Robic]

*Montrer que B=(X²,A(X²),(A(A(X²)) est une base de E :
Je n'ai pas la moindre idée de comment résoudre cette question

Impossible !

Une base est une famille libre et génératrice. Donc, sans même réfléchir, on sait qu'il faut démontrer deux choses :
(1) B est libre.
(2) B est génératrice.

Faisons le (1).

Une famille de vecteurs u, v, w est libre si et seulement si on a l'implication suivante :
au + bv + cw = 0 => a=b=c=0

Donc on prend les trois polynômes de B, et on suppose que :
aX² + bA(X²) + cA(A(X²)) = 0,
c'est-à-dire (et là on voit à quoi ça sert de calculer A(X²) et A(A(X²)) !) :
aX² + b[(X+1)² - X²] + c[( (X+2)² - (X+1)² ) - ( (X+1)² - X² )] = 0
(calculs faits à la va-vite, probablement erronés)

Le but est de démontrer qu'alors a=b=c=0. (J'imagine qu'il va falloir développer l'expression, qui est celle d'une équation du second degré.)

Jusque là, il n'y a pas eu besoin de réfléchir, juste d'écrire les définitions et de les adapter à l'énoncé : c'est du travail de perroquet. Il n'y a aucune difficulté : il faut juste se lancer, on verra bien où ça mène. Là, ça mène à résoudre une équation du second degré.

ATTENTION : tout ce qui précède n'a pour but que de montrer comment avancer lorsqu'on a aucune idée au départ. Mais ce n'est pas la méthode la plus judicieuse. Ce serait moi, je calculerais les coordonnées des polynômes de la nouvelle base dans l'ancienne base et je vérifierais que le déterminant obtenu est non nul. Et pour démontrer le (2), il vaut mieux remarquer qu'on a trois vecteurs en dimension 3 plutôt que de revenir à la démonstration d'une famille génératrice.

[blaster]

Impossible !

Une base est une famille libre et génératrice. Donc, sans même réfléchir, on sait qu'il faut démontrer deux choses :
(1) B est libre.
(2) B est génératrice.

Faisons le (1).

Une famille de vecteurs u, v, w est libre si et seulement si on a l'implication suivante :
au + bv + cw = 0 => a=b=c=0

Donc on prend les trois polynômes de B, et on suppose que :
aX² + bA(X²) + cA(A(X²)) = 0,
c'est-à-dire (et là on voit à quoi ça sert de calculer A(X²) et A(A(X²)) !) :
aX² + b[(X+1)² - X²] + c[( (X+2)² - (X+1)² ) - ( (X+1)² - X² )] = 0
(calculs faits à la va-vite, probablement erronés)

Le but est de démontrer qu'alors a=b=c=0. (J'imagine qu'il va falloir développer l'expression, qui est celle d'une équation du second degré.)

Jusque là, il n'y a pas eu besoin de réfléchir, juste d'écrire les définitions et de les adapter à l'énoncé : c'est du travail de perroquet. Il n'y a aucune difficulté : il faut juste se lancer, on verra bien où ça mène. Là, ça mène à résoudre une équation du second degré.

ATTENTION : tout ce qui précède n'a pour but que de montrer comment avancer lorsqu'on a aucune idée au départ. Mais ce n'est pas la méthode la plus judicieuse. Ce serait moi, je calculerais les coordonnées des polynômes de la nouvelle base dans l'ancienne base et je vérifierais que le déterminant obtenu est non nul. Et pour démontrer le (2), il vaut mieux remarquer qu'on a trois vecteurs en dimension 3 plutôt que de revenir à la démonstration d'une famille génératrice.

Enfin pas du tout d'idée est un peu exagérer mais j'arrive pas à appliquer lorsque c'est des polynomes... Tu viens de m'éclairer et je sais comment faire maintenant . Merci beaucoup ! Et pour le noyau je dois trouver :
P(X+1)-P(X)=0 c'est à dire P(X+1)=P(X) ? Je considère que P(X) est de la forme aX²+bX+c. Donc je dois trouver aX²+bX+c = a(X+1)²+b(X+1)+c ?

[Robic]

Et pour le noyau je dois trouver :
P(X+1)-P(X)=0 c'est à dire P(X+1)=P(X) ?

Voilà, c'est exactement la démarche : pas besoin de réfléchir pour aboutir à ça, juste d'appliquer les définitions.

Et maintenant il faut réfléchir : quand est-ce qu'un polynôme a la propriété que pour tout x, P(x+1) = P(x) ? Note bien qu'on cherche P, pas x !

--> Rappel : l'égalité P(X) = P(X+1) n'est pas une égalité de nombre, mais une égalité de polynômes, pour ainsi dire une égalité de fonctions. Donc on cherche en fait a, b, c tels qu'on ait l'égalité de polynômes a(X+1)²+b(X+1)+c = aX²+bX+c. Reste à tout regrouper à gauche pour avoir une égalité entre un certain polynôme et le polynôme nul, ce qui permettra de dire que les coefficients sont nuls...

[blaster]

Voilà, c'est exactement la démarche : pas besoin de réfléchir pour aboutir à ça, juste d'appliquer les définitions.

Et maintenant il faut réfléchir : quand est-ce qu'un polynôme a la propriété que pour tout x, P(x+1) = P(x) ? Note bien qu'on cherche P, pas x !

--> Rappel : l'égalité P(X) = P(X+1) n'est pas une égalité de nombre, mais une égalité de polynômes, pour ainsi dire une égalité de fonctions. Donc on cherche en fait a, b, c tels qu'on ait l'égalité de polynômes a(X+1)²+b(X+1)+c = aX²+bX+c. Reste à tout regrouper à gauche pour avoir une égalité entre un certain polynôme et le polynôme nul, ce qui permettra de dire que les coefficients sont nuls...

Quand je regroupe tout à gauche, j'ai :
a(2X+1)+b = 0, si j'ai bien compris on a comme base (1, -2X-1) ?

[bentaarito]

Non! j'ai pas vérifié tes calculs mais la conclusion est fausse: plutot on a comme base le polynome constant 1 par exemple

[Doraki]

Quand je regroupe tout à gauche, j'ai :
a(2X+1)+b = 0, si j'ai bien compris on a comme base (1, -2X-1) ?

Je te rappelle que tu es en train de calculer le noyau de A,
donc tu veux déterminer l'ensemble des triplets (a,b,c) tels que A(aX²+bX+c) est le polynôme nul
Tes calculs disent que A(aX²+bX+c) = a(2X+1)+b, donc tu dois déterminer l'ensemble des triplets (a,b,c) tels que a(2X+1)+b est le polynôme nul.

Et puis là tout d'un coup tu pars en vrille et tu nous dis que (1,-2X-1) est une base (de quoi, tu nous as pas dit, mais c'est une base de l'image de A). Certes c'est vrai, mais ça n'a AUCUN rapport avec le noyau de A.

Par exemple -2X-1 n'est pas dans le noyau de A puisque A(-2X-1) = -2, et -2 n'est pas le polynôme nul puisque son coefficient constant -2 est différent de 0.

[Robic]

Ah la la, j'avais pourtant rappelé qu'on est en train de chercher a, b, c.

Je répète :

Donc on cherche en fait a, b, c tels qu'on ait l'égalité de polynômes a(X+1)²+b(X+1)+c = aX²+bX+c. Reste à tout regrouper à gauche pour avoir une égalité entre un certain polynôme et le polynôme nul, ce qui permettra de dire que les coefficients sont nuls...

J'ai fait les calculs, j'obtiens :
2aX + a + b = 0.

(Oui, c'est pareil que a(2X+1)+b = 0, sauf que a(2X+1)+b = 0 n'est pas sous la forme « un certain polynôme égale la polynôme nul ».)

À gauche on a le polynôme 2aX + (a + b), et à droite on a le polynôme nul. Donc l'égalité (égalité de polynômes, encore une fois !) entraîne que 2a = 0 et (a + b) = 0. On en déduit a = b = 0.

Et c ?

Une fois que tu auras trouvé c, tu pourras en conclure que les polynômes de Ker A sont exactement les polynômes de la forme aX² + bX + c avec a=0, b=0, c= (tu verras), c'est-à-dire...

Et seulement après, tu pourras chercher une base de Ker A.

[zygomatique]

Quand je regroupe tout à gauche, j'ai :
a(2X+1)+b = 0, si j'ai bien compris on a comme base (1, -2X-1) ?

le noyau de A est l'ensemble des polynômes P qui vérifient pour tout x : P(x + 1) = P(x)

t'en connais beaucoup des polynômes périodiques ? ........... même s'il y en a une infinité ....

[blaster]

Ah la la, j'avais pourtant rappelé qu'on est en train de chercher a, b, c.

Je répète :

Donc on cherche en fait a, b, c tels qu'on ait l'égalité de polynômes a(X+1)²+b(X+1)+c = aX²+bX+c. Reste à tout regrouper à gauche pour avoir une égalité entre un certain polynôme et le polynôme nul, ce qui permettra de dire que les coefficients sont nuls...

J'ai fait les calculs, j'obtiens :
2aX + a + b = 0.

(Oui, c'est pareil que a(2X+1)+b = 0, sauf que a(2X+1)+b = 0 n'est pas sous la forme « un certain polynôme égale la polynôme nul ».)

À gauche on a le polynôme 2aX + (a + b), et à droite on a le polynôme nul. Donc l'égalité (égalité de polynômes, encore une fois !) entraîne que 2a = 0 et (a + b) = 0. On en déduit a = b = 0.

Et c ?

Une fois que tu auras trouvé c, tu pourras en conclure que les polynômes de Ker A sont exactement les polynômes de la forme aX² + bX + c avec a=0, b=0, c= (tu verras), c'est-à-dire...

Et seulement après, tu pourras chercher une base de Ker A.

J'ai bien vu que a et b =0 (mais je pensais me tromper...) et je pense c =0. Mais je vois pas du tout ou cela peut me mener :hein: .

[Robic]

En fait c n'est pas égal à 0.

Mais s'il était égal à 0, la conclusion serait simple : le noyau de A est formé des polynômes qui s'écrivent sous la forme P(X) = aX² + bX + c où a=b=c=0, c'est-à-dire des polynômes qui s'écrivent sous la forme P(X) = 0. Donc ce sont les polynômes nuls !

Mais en fait ce n'est pas ça, à cause du coefficient c. Si tu récapitules, tu as cherché a,b,c tels que A(P(X)) = 0, et tu as obtenu uniquement a=b=0. Du coup qu'est-ce que ça signifie pour c ?

[blaster]

En fait c n'est pas égal à 0.

Mais s'il était égal à 0, la conclusion serait simple : le noyau de A est formé des polynômes qui s'écrivent sous la forme P(X) = aX² + bX + c où a=b=c=0, c'est-à-dire des polynômes qui s'écrivent sous la forme P(X) = 0. Donc ce sont les polynômes nuls !

Mais en fait ce n'est pas ça, à cause du coefficient c. Si tu récapitules, tu as cherché a,b,c tels que A(P(X)) = 0, et tu as obtenu uniquement a=b=0. Du coup qu'est-ce que ça signifie pour c ?

Ca serait tout les polynomes de la forme P(X)=c ?

[bentaarito]

Correct, et donc une base du ker est..?

[blaster]

Correct, et donc une base du ker est..?

Je dirais 1, non ? (0,0,1)

[bentaarito]

1 oui mais (0,0,1) je vois pas c'est quoi