Recurrence reel positif rationnels

par **dea93** » 12 Sep 2006, 20:37

Bonjour voila le question: u0=1
un+1=1 + 1/1+un (n> ou egal a 0)

demontrer que tous les termes de la suite un sont des rationnels positifs.
jai essayer plusieur chose et je n'arrive pa a trouver

par **rene38** » 12 Sep 2006, 20:45

Qu'as-tu fait depuis hier ?

[url="http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=18419"]http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=18419[/url]

par **nuage** » 12 Sep 2006, 20:46

Salut,
je suppose que

.

Si r est rationnel que peut-on dire de

, de

....

On peut alors conclure par réccurence sur

.

A+

par **dea93** » 12 Sep 2006, 20:47

salut bein jai ressayé apparament je dois en faire deux une pour prouvé kel é positif et une autre pour prouver kel é rationnel mais je sais pas je me bloque alors que ce n'est pa dure. sa serait sympa de m'eclairer merci

par **rene38** » 12 Sep 2006, 20:56

Tu sais ce qu'est un rationnel positif ?
[u]Hérédité[/u] :
Si

alors

donc

et donc

soit

par **dea93** » 12 Sep 2006, 21:01

oui c une fraction positif mais je peux pas l'exprimer comme tu la ecrit non?

par **Nemo** » 12 Sep 2006, 21:07

Je n'ai jamais entendu parler de récurrence, mais on te démontre dans l'autre sujet que U(n) est rationnel positif.

Donc :

u(n+1) = 1 + (1/u(n)+1)
<=> u(n+1) = (u(n)+1)/(u(n)+1) + (1/u(n)+1)
<=> u(n+1) = (u(n)+2)/(u(n)+1)
<=> u(n+1) = [(p/q)+2]/[(p/q)+1] où p et q sont des entiers naturels premiers entre eux.

<=> u(n+1) = [(2q+p)/q]/[(p+q)/q]
<=> u(n+1) = [q(2q+p)]/[q(p+q)]
<=> u(n+1) = (2q+p)/(q+p)

Dans ce cas, u(n+1) est forcément rationnel positif, non ?

par **dea93** » 12 Sep 2006, 21:22

je sais pas mais c'est pas mal comme idée mais en koi sa me montre ke c positif

par **dea93** » 12 Sep 2006, 21:25

sinon jai une autre question c'est : on a vn= (un-v2)/(un+v2)
demontret que pour tt n>ou egal a 0 on a l'egalité vn+1=(1-v2/1+v2)vn
sachant quer un+1= 1 + 1/1+un

par **Nemo** » 12 Sep 2006, 21:29

Pour la démonstration de u(n) rationnel positif, il faut voir l'autre sujet (moi je sais pas faire).

Mais puisque u(n) est sur Q+, p et q sont positifs. Et donc (2q+p)/(q+p) aussi...

par **rene38** » 12 Sep 2006, 21:55

rene38 a écrit:Tu sais ce qu'est un rationnel positif ?
[u]Hérédité[/u] :
Si alors
donc
et donc

soit

Je traduis :

Si

est un rationnel positif (

) alors
en ajoutant 1, on obtient encore un rationnel positif (

) donc
en prenant l'inverse de ce dernier, on obtient encore un rationnel positif (

) et donc
en ajoutant 1 à ce nombre, on obtient encore un rationnel positif (

)
Or le résultat obtenu est

En résumé : Si

est un rationnel positif alors

est un rationnel positif et l'hérédité est prouvée.
L'initiation étant démontrée,
Quel que soit le naturel n,

est un rationnel positif

par **rene38** » 12 Sep 2006, 21:57

dea93 a écrit:sinon jai une autre question c'est : on a vn= (un-v2)/(un+v2)
demontret que pour tt n>ou egal a 0 on a l'egalité vn+1=(1-v2/1+v2)vn
sachant quer un+1= 1 + 1/1+un

C'est

ou

?

par **dea93** » 13 Sep 2006, 17:19

Salut desolé pour hier je suis parti dormir c'est racine de 2
parconte pour revenir sur la recurrence sa prouve bien que c'est un rationnel je suis daccord avec toi sauf que en quoi sa prouve que c'est positif.
en tt cas merci de m'avoir aider jusqu'a la

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