Somme et Intégrale interdépendantes

[Lostounet]

Bonjour,

Dans le cadre de l'application de la formule de Taylor Lagrange avec reste intégral, je dois essayer de déterminer - ou au moins de majorer... - la somme suivante:


Ce que je peux faire c'est majorer les (k + 1 - t)/t^2 par (n + 1) pour t assez grand (t>1) sur chaque truc mais je pense que c'est complètement faux...
Comment faire pour la calculer/la majorer?

[Doraki]

je te rappelle que t >= 1 donc ton t > 1 doit pas être super gênant.

[DamX]

Bonjour,

je ne suis pas sûr de voir quel est le but précis de cette question parce qu'il y a assez peu de contexte.

Si c'est calculer brutalement cette somme, ça se fait bien, les intégrales sont basiques, la somme fait se raccorder les petits bouts d'intégrale pour le terme -1/t et on trouve la différence entre la série harmonique au rang n et ln(n+1) qui du coup va être majoré par la constante d'Euler.

Damien

[Sourire_banane]

Salut,

Trace la fonction telle que pour tout t>0, . Elle est clairement décroissante pour t positif. Sur [k,k+1] tu peux majorer l'intégrale par la quantité

[Lostounet]

Ahaha !

Si t est dans [k ; k + 1]

-k-1< -t < -k

0 < - t + k + 1 < 1

sur t^2
...

Les fonctions dans les intégrales deviennent de plus en plus petites...

@Dam: C'est pour trouver un équivalent de la série harmonique justement. Je dois montrer avec Taylor Lagrange que c'est un ~ ln(n)
Donc je cherchais un majorant pour le truc que j'ai posté plus haut.

[DamX]

Ok je comprends mieux.

Et bien du coup 0 < (k+1-t)/t^2 < 1/t^2

te permet de conclure ce que tu recherches.

Damien