Problème d'équivalence

par **Machi** » 02 Mai 2014, 14:57

Ça me parait idiot, mais dans mon DM, je dois montrer que 1/(nln(n)) est équivalent en plus l'infini à ln(ln(n))-ln(ln(n-1))... J'ai essayé de changer les expressions, mais rien à faire je trouve pas. Je sais que la réponse doit être évidente mais je ne peux pas faire la suite sans ça, donc ça m'arrangerait bien que vous m'aidiez ^^"

par **jlb** » 02 Mai 2014, 15:31

Salut, calcule
ln(ln(n))-ln(ln(n-1))=ln(ln(n)/ln(n-1))=-ln(ln(n-1)/ln(n))=-ln([ln(n)+ln((n-1)/n)]/ln(n)=-ln(1 + ln(1-1/n)/ln(n)) et tu as ton équivalent avec des dl de ln(1+u) où u tend vers 0

par **radoude** » 02 Mai 2014, 15:47

Machi a écrit:Ça me parait idiot, mais dans mon DM, je dois montrer que 1/(nln(n)) est équivalent en plus l'infini à ln(ln(n))-ln(ln(n-1))... J'ai essayé de changer les expressions, mais rien à faire je trouve pas. Je sais que la réponse doit être évidente mais je ne peux pas faire la suite sans ça, donc ça m'arrangerait bien que vous m'aidiez ^^"

Bonjour si j'ai bien compris il faut démontrer que

D'une part on a:

et il faut donc montrer que

or,

Pour cette dernière égalité, on peut utiliser le théorème de l'Hospital:

cqfd

Oups encore devancé!

par **jlb** » 02 Mai 2014, 15:50

radoude a écrit:Bonjour si j'ai bien compris il faut démontrer que
cqfd :hum:

et du coup 1/x est équivalent à 1/x² en +OO !!!! ton raisonnement ne va pas

par **Machi** » 02 Mai 2014, 15:50

Merci bcp, j'avais pensé à utiliser les DL, mais je m'étais trompée dans le calcul ^^"
Donc ça me fait deux possibilités de rédaction, mais je ne suis pas très convaincue par la deuxième donc je vais opter pour la 1ère

par **jlb** » 02 Mai 2014, 15:53

Machi a écrit:Merci bcp, j'avais pensé à utiliser les DL, mais je m'étais trompée dans le calcul ^^"
Donc ça me fait 2 possibilités de rédaction, merci

NON!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

par **Machi** » 02 Mai 2014, 15:54

oui je viens de remarquer ^^

par **radoude** » 02 Mai 2014, 15:55

jlb a écrit:et du coup 1/x est équivalent à 1/x² en +OO !!!!

J'ai pas compris, j'ai fait une erreur? Ou bien je ne pouvais pas donner la réponse finale ou les deux? Dans tous les cas désolé! :triste:

OK ce n'était pas un calcul de limite qu'on demandait sorry sorry mal compris la question

par **Ben314** » 02 Mai 2014, 22:19

radoude a écrit:Bonjour si j'ai bien compris il faut démontrer que

ATTENTION : dire que deux fonctions (ou suites) sont équivalentes (en l'infini), ça ne signifie pas du tout qu'elles tendent toute les deux vers 0!!!
Par définition,

signifie que

(idem pour les suites)

Donc ici, ce qu'il faut montrer, c'est que

tend vers 1 lorsque n tend vers +oo.
Si on pose

alors

où

(Théorème des accroissement finis)
Comme

on a donc

.
Or,

donc

d'où

.
et

donc

d'où

.

par **radoude** » 03 Mai 2014, 10:19

Ben314 a écrit:ATTENTION : dire que deux fonctions (ou suites) sont équivalentes (en l'infini), ça ne signifie pas du tout qu'elles tendent toute les deux vers 0!!!
Par définition, signifie que (idem pour les suites)

Donc ici, ce qu'il faut montrer, c'est que tend vers 1 lorsque n tend vers +oo.
Si on pose alors où (Théorème des accroissement finis)
Comme on a donc .
Or, donc d'où .
et donc d'où .

Oui, c'est bien cela que j'avais finalement compris. Merci

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