DM pour lundi dérivée seconde

[alexandra883]

Bonjour , je suis nouvelle ici alors je me présente ; Alexandra , 18 ans et je suis en terminale ES .
Alors voilà , j'ai un gros problème .
J'ai un DM à rendre pour le lundi 6 mai :

f est la fonction définie sur R par : f(x)= [(x^4)/12]+(-x+2)e^x

A) Démontrer que pour tout nombre réel x : f'(x)=(1-x)e^x+[(x^3)/3]
-> ça , j'ai réussie à faire :
f(x)=[(x^4)/12]+(-x+2)e^x
=[(4x^3)/12]+(1-x)e^x
=[(x^3)/3]+(1-x)e^x
f'(x)=(1-x)e^x+[(x^3)/3]

B) Déterminer f''(x) et présenter cette dérivée seconde sous forme factorisée puis en déduire l'étude de la convexité de f. Vérifier le résultat à la calculatrice.
Et là , c'est le drame ... Je ne sais pas faire de dérivée seconde :triste:

Cela fait 1 semaine que je suis dessus :mur:

Merci d'avance !!!

[Machi]

la dérivée seconde c'est simple: tu dérives ta dérivée tout simplement =) (Ca tu devrais savoir faire)

Pour la suite de la question, tu dois factoriser pour trouver le signe, et le signe de la dérivée seconde te dit si elle est convexe ou concave ^^ (positive ça fait un creux (convexe), négative ça fait une bosse (concave) si tu préfères).
Si le signe n'est pas constant, tu fais un tableau de variation et tu dis que sur tel intervalle c'est concave et sur tel intervalle c'est convexe par rapport au signe de la dérivée seconde.

[alexandra883]

la dérivée seconde c'est simple: tu dérives ta dérivée tout simplement =) (Ca tu devrais savoir faire)

Pour la suite de la question, tu dois factoriser pour trouver le signe, et le signe de la dérivée seconde te dit si elle est convexe ou concave ^^ (positive ça fait un creux (convexe), négative ça fait une bosse (concave) si tu préfères).
Si le signe n'est pas constant, tu fais un tableau de variation et tu dis que sur tel intervalle c'est concave et sur tel intervalle c'est convexe par rapport au signe de la dérivée seconde.

Ah merci Avec les mêmes "formules" que si on dérivait une première fois ?

[WillyCagnes]

Bjr

revise ton cours sur les derivées

f(x)=x^n
f'x)=nx^(n-1)


1ère partie
f(x)= [(x^4)/12]
f'(x)= 4x^3/12= x^3/3 ok

puis l'autre partie
f(x)=(-x+2)e^x
tu poses
u=(2-x) u'=-1
v=e^x v'=e^x

f(uv)=u.v
f'(uv)= u'v +v'u à apprendre par coeur!
donc
f'(x) =-1e^x +e^x(2-x)
f'(x) = -e^x +2e^x -xe^x
f'(x) =e^x -x.e^x =e^x(1-x)

ensuite tu fais la somme des dérivées

f(x)= [(x^4)/12]+(-x+2)e^x
f'(x) = x^3/3 + (1-x).e^x)

pour la derivée seconde tu recommences à faire la derivée de f'(x)
f'x)= 3x^2/3 +....te laisse faire la suite

[Machi]

pour la dérivée seconde (si tu as du mal avec le calcul):
f''(x)= -e^x+(1-x)e^x+x (tu utilises (u*v)'=u'v+uv' avec u=1-x et v=e^x)
= e^x(-1+1-x)+x (tu factorises par e^x)
= -xe^x+x (tu simplifies les 1 ^^")
= x(1-e^x) (tu factorises par x)

après je te laisse le reste ;)

[alexandra883]

Merci à vous deux !
Le résultat serait -xe^x+x^2 ? :)

[Thomas Joseph]

Non,
la forme développée apparait sur l'avant dernière ligne du raisonnement de Machi (il n'y a pas de carré)
ensuite, si tu relis l'énoncé, ce qui t'es demandé c'est la forme factorisée de la dérivée seconde : cette forme apparait à la dernière ligne du raisonnement de Machi.

[paquito]

C'est la dérivée d'Alexandra qui est bonne! on dérive x^3/3.
Mais dans la forme factorisée il apparaît comme facteur (x-e^x), dont le signe ne se trouve pas algébriquement;
que conseiller?
On considère que e^x>x est un résultat connu ou on fait étudier les variations de x-e^x (facile, mais n'apparaissant pas dans l'énoncé.)

[Thomas Joseph]

D'accord avec toi sur la dérivée,
je n'avais pas pris le temps de relire depuis le début, merci.

Pour la fin, tu donnes les deux possibilités et il me semble que c'est à Alexandra de choisir.

[paquito]

D'accord avec toi sur la dérivée,
je n'avais pas pris le temps de relire depuis le début, merci.

Pour la fin, tu donnes les deux possibilités et il me semble que c'est à Alexandra de choisir.

D'accord, laissons un peu d'initiative à Alexandra.

[alexandra883]

Merci pour vous réponses !!! :)