Supplémentaire de Ker

[mathsoupe]

bonjour, un exercice me pose problème, voici l'énoncé:

on considère l'application définie u:R^4->R^3, (x,y,z,t)->(3x+2y+z-t,x+y+t,z-t)

1)montrer que u est linéaire
2)déterminer Ker u et Im u, u est-elle injective? surjective?
3)déterminer un supplémentaire S de Ker u dans R^4?
4)déterminer s(x,y,z,t) si s est la symétrie de R^4 par rapport à Ker u parallèlement à S.


j'ai réussi les deux premières questions mais je ne vois pas trop comment faire pour la troisième, pouvez vous m'aider s'il vous plait?

[bentaarito]

Que trouves tu pour ker(u)? quelle est sa dimension? Peux tu en exhiber une base?Quelle dimesion aura son supplémentaire?

[mathsoupe]

j'ai ker(u)= t(2,-3,1,1), t appartenant à R
il est donc de dimension 4
la base serait (2,-3,1,1)
son supplémentaire sera de même dimension?

[bentaarito]

j'ai ker(u)= t(2,-3,1,1), t appartenant à R
il est donc de dimension 4
la base serait (2,-3,1,1)
son supplémentaire sera de même dimension?

La notation conventionnelle est plutot la suivante:
ker(u)= {(2t,-3t,t,t), t appartenant à R} (attetion ker(u) est un ensemble(meme plus c'est un ev), les {}sont necessaires)

La dimension de ker(u) n'est pas 4, mais 1 car une base de ker(u) est de cardinal 1 (elle est formée par un seul vecteur, le vecteur (2,-3,1,1))

Peux-tu continuer et corriger le reste d'ici?

[mathsoupe]

ah oui merci.

du coup la base serait bien (2,3,-1,-1) et le supplémentaire sera de dimension trois.

[bentaarito]

ah oui merci.

du coup la base serait bien (2,3,-1,-1) et le supplémentaire sera de dimension trois.

attention au signe moins! c'est soit (-2,3,-1,-1) soit (2,-3,1,1). pas autre chose

[mathsoupe]

mais comment trouver le supplémentaire à partir de cela?

[bentaarito]

La méthode est simple: il suffit de completer la base de ker(u) en une base de R^4. Les nouveaux vecteurs (trois) seront ceux du supplémentaire.

[mathsoupe]

ah oui d'accord on utilise le théorème de la base incomplète donc on peut prendre par exemple les trois vecteurs (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0). est-ce correct?

[bentaarito]

ah oui d'accord on utilise le théorème de la base incomplète donc on peut prendre par exemple les trois vecteurs (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0). est-ce correct?

C'est correct (à remarquer que c'est pas la seule possibilité, mais c'est bien la plus simple)
C'était aussi un résultat prévisible, le suplémentaire d'une droite (ker(u) car de dim 1) dans R^4 est bien l'espace R^3

[mathsoupe]

merci pour ton aide, plus que la question 4 à faire! bonne soirée