Equation fonctionnelle.

[nuage]

Pour faire remonter le sujet.
Je verrais ça demain. Si j'ai le temps, mais ça m'interesse.

A+

[polymathematic]

ca fai un moment que j n suis pa revenu ici

[nekros]

Salut,

Si ça vous intéresse, d'autres matheux se sont penchés sur ce problème : cliquer ici

Pas de solution finale non plus

A+

[geta]

Et si on mettait les problèmes non encore résolus dans un sous morceau du forum spécialement prévu à cet effet ?
:id:

[nox]

ca peut etre une bonne idée (mais je sais pas si c'est super gérable pour les admins...enfin bon ca coute rien de proposer)
Postes un truc pour suggérer ca dans "à propos de ce site" on verra bien

[B_J]

si on suppose que f est derivable alors :
f(x+1)=f(x)+f(1/x) en derivant et en utilisant f(x+1)=f(1+1/x) on aura :
f'(x+1)=(-1/x²)f'(1+1/x) = (-1/x²)f'(x+1) => f'(x+1)=0 pour x non nul
donc f=cte
or f(1)=f(2)=2f(1) => f=0 pour tout x

[alben]

si on suppose que f est derivable alors :
f(x+1)=f(x)+f(1/x) en derivant et en utilisant f(x+1)=f(1+1/x) on aura :
f'(x+1)=(-1/x²)f'(1+1/x) = (-1/x²)f'(x+1) pour x non nul
donc f=cte
or f(1)=f(2)=2f(1) => f=0 pour tout x

Bonsoir,

Je ne retrouve pas ton résultat.

[Imod]

Un petit mot pour dire que je ne peux pas suivre B_J dans sa logique : f(x+1)= f(1 + 1/x) donc f'(x+1) = f'(1 + 1/x) . J'ai essayé sur le site que signale nekros de montrer qu'il existait une infinité de solutions au problème . Parmi elles il y en a sans doute certaines qui sont dérivables voire plus .

Imod ( ie : Domi mais le pseudo est déjà pris :cry: )

[B_J]

on a f'(1+1/x)=f'(1+x) mais aussi [f(1+1/x)]' =(1+1/x)' *f'(1+1/x) ...
( derivee d'une fonction composee )

[alben]

on a f'(1+1/x)=f'(1+x)

En vertu de quoi????

mais aussi [f(1+1/x)]' =(1+1/x)' *f'(1+1/x) ...

d'accord, c'est la seule chose vraie me semble-t-il
Sur le fond, je ne pense pas que la fonction soit identiquement nulle Je n'ai pas encore eu le temps de suivre dans le détail la construction proposée par Domi=Imod mais je serai très curieux de voir la tête d'une fonction qui satisfasse à la relation

[B_J]

En vertu de quoi????

ben si f=g alors f'=g' non ?

[B_J]

ex :
donc j'ai le droit d'ecrire que

non ?

[alben]

ex : cos(x)=cos(-x)
donc -sin(x)=-sin(-x) d'après toi :zen:
L'égalité de deux fonctions signifie qu'elles se coupent, pas qu'elles sont tangentes !
Ton exemple marche parce que tes deux fonctions ne sont en fait que deux écritures de la même.

[B_J]

attention
cos(x)=cos(-x) =>cos'(x)=cos'(-x)
mais cos'(-x) = (-x)'*cos'(-x)=-1*-sin(-x)=sin(-x)=-sinx

[B_J]

ex : cos(x)=cos(-x)
donc -sin(x)=-sin(-x) d'après toi :zen:
.

n'oublie que tu derives une fonction composee

[nox]

ex : cos(x)=cos(-x)
donc -sin(x)=-sin(-x) d'après toi :zen:

je crains que (cos(-x))' = sin(-x) = -sin(x)

[nox]

C'est vrai que ca me semble bon...
Si f(x) = g(x) pour tout x on a bien f' = g' aussi...je vois pas de contre exemple...puisque comme tu dis g n'est qu'une autre écriture de f

[B_J]

L'égalité de deux fonctions signifie qu'elles se coupent, pas qu'elles sont tangentes !
.

ah bon
pourtant tu ecris

[Flodelarab]

Je vois pas comment 2 fonctions définies identiquement pourrait avoir des dérivées différentes....

[alben]

Tu m'embrouilles, tu t'embrouilles...

Soyons précis : tu prétends qu'à partir de f(x+1)=f(1+1/x) tu peux déduire f'(x+1)=f'(1+1/x)
C'est faux

Il ne s'agit pas de f=g pour tout x mais de (foh)(x)=(fok)(x). Il s'agit de fonctions composées et tu as seulement (foh)'=(fok)' donc f'(h(x))h'(x)=f'(g(x))k'(x).
Mais h'(x)=1 et k'(x)=(-1/x²)