Question fondamentale sur les équations différentielles

[lol37]

Salut !

Avant tout chose, je désigne ce problème comme très complexe et ferait peut être appel à d'outils puissants (?) de l'analyse.

soit y une fonction différentiable (de classe }) (disons sur un certain intervalle I).
y est il solution d'une équation différentielle (peu importe son genre et son ordre) sans second membre ?
c'est à dire une équation du type

Je trouve que ce problème relèverait du fondamental dans le domaine de l'analyse différentielle.
Si je me trompe de partie, vous pourriez déplacer le topic, ce serait chouette !

[zygomatique]

salut

et quelle est la question ?

[adrien69]

La question c'est : pour toute fonction y différentiable, peut-on trouver une équation différentielle homogène (a priori non linéaire) telle que y soit solution de cette équation différentielle.
Relis (bien ?) son post zygomatique.

[adrien69]

Sinon, pour f=0 ça marche ^^

[lol37]

Sinon, pour f=0 ça marche ^^

Bien tenté mais ca ne donne pas d'équation différentielle. (elle serait dégénérée)
tu dois avoir mini deux des paramètres de f apparaissant dans l'équation.

[adrien69]

Et pourquoi ça ne donnerait pas une équation différentielle (vraiment, 0=0 est une équation, pas à solution unique c'est tout, je voulais juste t'arracher le "solution unique" de la bouche, pour voir si tu pensais IDENTIFIER la fonction à son ODE, et puis tu avais dit "de n'importe quel ordre et de n'importe quel genre", ou un truc comme ça, donc dégénérée marche aussi ;) ) ?

Non plus sincèrement je ne connais aucun résultat ni travail actuel (mais ce n'est pas un truc que je connais bien) parlant de ce type d'injection des fonctions dérivables dans les fonctions solutions d'ODE. Mais je suppose que si ça devait être envisageable il faudrait absolument prendre en compte des dérivées faibles d'ordre supérieur au moins.

Questions ouvertes :
- Quelle équation différentielle vérifie l'intégrale sur [0,t] d'une réalisation d'un mouvement Brownien (continu donc d'intégrale différentiable, mais de variation totale infinie) vérifie-t-elle ? Même question pour la fonction de Weierstrass.
- Quelle équation différentielle (en version faible) vérifie "l'escalier du diable", ou autrement nommé, la fonction de Cantor ?

[Ben314]

Salut,
Déjà, pour "l'escalier du diable", ça me semble clairement "pas dans les clous" du problème vu qu'elle n'est même pas dérivable sur [0,1].
Perso je comprend la question comme "étant donné y de classe C^oo existe t'il..."

Après, globalement (i.e. sur l'intervalle tout entier) j'ai des doutes concernant l'existence d'une équadiff. dont y serait solution partout (si on travaille dans R et pas dans C, il y a moyen de recoller de façon C^oo n'importe quelle fonctions pourvu qu'on ait un minuscule intervalle pour cela).

Mais localement, ça me semble jouable : pour t dans un petit intervalle t->(y(t),y'(t)) décrit un petit arc paramétré et à l'aise du th. des fonctions implicites (modulo quelque petite hypothèses), on sait que cet arc peut se paramétrer par du y=f(y') ou bien du y'=f(y) et ça nous donne l'équa.diff. voulue.

[adrien69]

Yo Ben, c'est pour ça que j'avais parlé de dérivée faible.
Mais les prendre indéfiniment différentiables c'est trop fort non ? Ça exclue d'emblée la primitive de la valeur absolue par exemple. Qui pourtant a une équation différentielle : f'/2-f/x=0

[lol37]

Quand est il pour l'équation générale ?

[adrien69]

Aucune idée, c'est tres loin d'etre trivial.
Mais attention, si tu rajoutes le x comme parametre de f, tu t'autorises un second membre. Si tu ne le rajoutes pas, tu t'autorises uniquement des trucs du type exp(y')-y^2=sin(y'') sans x pour intervenir.

Faudrait déblayer tout ca.

[Kelenner]

Bonjour,

C'est effectivement une question très intéressante, mais pas nouvelle.

Voici une vieille référence: (carmichael, 1913)

http://www.ams.org/journals/tran/1913-014-03/S0002-9947-1913-1500949-2/S0002-9947-1913-1500949-2.pdf

En particulier (corollaire I), si on a une série entière $\sum a_n x^n$ avec $a_n=1/b_n$, $b_n$ entier tel qu'il n'existe pas de $\tau$ entier $\geq 2$ vérifiant $|b_n|\leq n^{tau^n}$, elle ne vérifie aucune équation différentielle de ce type.

Je crois qu'il y a mieux comme borne depuis.

La fonction $\Gamma$ ne vérifie pas de telles équations.

D'autre références plus récentes:

Rubel, Amer Math Monthly, 96, (9), 777-788, 1988.

Rubel , Illinois J of Math, 36 (4), 659-680, 1992

Et bien s\^ur tout ce qui a été fait depuis.

Cordialement.

[Ben314]

Voici une vieille référence: (carmichael, 1913)

http://www.ams.org/journals/tran/1913-014-03/S0002-9947-1913-1500949-2/S0002-9947-1913-1500949-2.pdf

Oui, mais dans l'article, la question est beaucoup (beaucoup...) plus restrictive que celle de départ vu qu'on demande à la fonction f d'être polynômiale en les variables : ça devient un problème plus "algébrique" que le problème de départ qui est analytique (ou en tout cas, c'est comme ça que je le comprend)
De plus, si on s'intéresse uniquement aux fonction t->y(t) admettant un D.V. en série entières, ça modifie profondément le problème vu qu'on aura affaire uniquement à des fonction prolongeable à une partie de C et donc on aura une classe infiniement plus "rigide" de fonctions (impossible de recoller deux fonction comme on peut le faire avec des fonctions C^oo sur R)

Mais bon, c'est évidement à lol37 de préciser la question : accepte t'il comme fonction f toute fonction suffisamment dérivable ou veut que f fasse parti d'une classe particulière (polynôme par exemple...)

Perso, j'avais lu "tel quel" l'énoncé : t->y(t) est réelle de classe C^n (donc pas du tout forcément D.V. en série) et la fonction f cherchée est... quelconque sauf triviale f=0.
Dans ce cas, je le (re)dit, le th. des fonctions implicite donne (localement) le résultat pour quasiment toutes les fonctions t->y(t)

[Ben314]

Mais les prendre indéfiniment différentiables c'est trop fort non ?

Dans R, c'est pas super restrictif : la fonction valeur absolue, tu l'approche comme tu veut par une fonction C^oo et la classe des fonctions C^oo est largement assez vaste pour faire... à peu prés ce qu'on veut... (par exemple, pour définir l'espace des distribution, on ne part que de ça au fond)

[lol37]

Effectivement f doit juste être dérivable continuellement n fois.