Demonstration par réccurance d'une inégalité

[Eurékagathe]

Bonjour!
Je suis en MPSI, et je bloque totalement sur un exercice. Il s'agit de demontrer par reccurance sur m (entier naturel) l'inégalité de la question 1.


L'initialisation, ca marche, mais après je n'arrive pas a raisonner, à retrouver mon hypothèse de reccurance. J'ai essayé de changer l'indice 2^m en p, et donc de montrer que si ca marchait pour p, ca marchaint pour 2p (=2^(m+1)),mais je n'arrive pas plus a avancer, et à trouver un résultat utilisable.
:mur: j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je tourne en rond. Si quelqu'un saurait coment raisonner, ca serait super.
Merci d'avance!!!

[Flodelarab]

trop facile. Je reflechis meme pas.

et

[nox]

trop facile. Je reflechis meme pas.

et

wowowowow...attends...

1) pas super la récurrence ^^
2) ln(x) < x donc ln(G) < G ... donc on prouve rien

[Quidam]

Si j'ai bien compris, tu as réussi l'initalisation, c'est-à-dire que tu as déjà démontré que si P et Q sont deux réels positifs, alors :


Ton approche est correcte !
Supposons que, quels que soient les positifs, :



Comparons alors :


avec


Posons :





Tu peux calculer :





Puis, de même :



etc...

Je te laisse terminer !

[Mikou]

et bah, nous en mpsi on apprend qu'est ce qu'une fonction, une application ... ouaaaaa
Sinon flodelarab il faut que tu suive c instructions :
demarrer > arreter lordinateur > arreter.

[Eurékagathe]

En fait je ne suis pas du tout arrivée au même résultat que toi lors de mon initialisation, je faisais plutot un truc du style "montrons que l'inégalité est vraie pour m=0".
Cependant j'arrive à demontrer le resultat que tu me donnes.
Je vais être un peu lourde, dsl, mais je me dmeande comment tu peu te servir de ce resultat pour comparer, à la fin (A1+A2)/2 et (B1*B2)^1/2, car A1 est différent de B1, et idem pour A2 B2, (puisque l'un est la somme et l'autre le produit des termes d'une suite) donc le resultat trouvé au debut ne peu pas marcher?
Si ca se trouve je pose une question toute con, j'ai le resultat sous les yeux et je ne le vois pas, mais honnetement, je dois avoir l'esprit formaté à un seul shéma pour les demonstration de réccurance.
En tout cas merci pour ton aide, je vais la reprnedre plus tranquillement demain, mais elle debroussaille quand même pas mal le calcul.
Bonne nuit,et dsl de t' (vous) embeter avec mes questions.

[Quidam]

Cependant j'arrive à demontrer le resultat que tu me donnes.

C'est noté !

Je vais être un peu lourde, dsl, mais je me dmeande comment tu peu te servir de ce resultat pour comparer, à la fin (A1+A2)/2 et (B1*B2)^1/2, car A1 est différent de B1, et idem pour A2 B2, (puisque l'un est la somme et l'autre le produit des termes d'une suite) donc le resultat trouvé au debut ne peu pas marcher?

Je n'ai pas dit que c'était fini ! J'ai simplement espéré que tu finirais...

Voilà la fin :
Désormais, tu as réussi l'initalisation, c'est-à-dire que tu as déjà démontré que si P et Q sont deux réels positifs, alors :

Gardons bien ce résultat en tête !

Donc quand tu arrives à :



...tu es amenée à comparer à et c'est là que tu dois utiliser le résultat précédent :
Si P et Q sont deux réels positifs, alors :


Par conséquent : et
[INDENT](
c'est d'ailleurs l'hypothèse de la récurrence : Supposons que, quels que soient les positifs, :


)[/INDENT]
Finalement :

dsl de t' (vous) embeter avec mes questions.

Pas du tout ! C'est intéressant !

[nada-top]

bonjour,

juste pour info cette inégalité s'appelle I.A.G , c'est pratique mais j'ai jamais déchifrer à quoi renvoit les initiales A.G :lol5:
je suppose ''I'' c'est inégalité ou inequality pour les autres je sais pas , si qqn a une idée?

[yos]

Arithmetico-Géométrique

[nada-top]

Inégalité Arithmetico-Géométrique

merci à toi :++:

[Eurékagathe]

D'accord! Merci, je ne voyais pas le denouEment comme ça, ca buggait dans ma tête. Mais c'est plus clair maintenant. Elle m'aura donné du fil à retordre cette fameuse IAG!
Encore merci!