Géométrie différentielle

[Aristarque]

En géométrie de Riemann, on connait bien le théorème qui dit que, un espace de Riemann étant donné, il existe une et une seule connexion affine compatible avec cette métrique (compatible au sens où les vecteurs déplacés parallèlement à eux-mêmes par la connexion affine doivent conserver la même longueur).

QUESTION: ce théorème admet-il une réciproque? Autrement dit, un espace à connexion affine étant donné, y a-t-il un manière unique de le munir d'une métrique de telle sorte que la connexion affine initiale devienne la connexion de Levi-Civita associée à cette métrique?

Voici où j'en suis concernant cette question:

Il me semble qu'en écrivant en coordonnées la connexion affine par la formule des symboles de Christoffel, on tombe sur une équation différentielle qui doit admettre une solution unique (pourvu que la valeur initiale de la métrique en un point soit précisée). Mais, n'étant pas très doué pour les équations différentielles, je ne suis pas sûr de moi.