Determinant

[Gonra]

salut,

K un corps . Soient A dans M2(K),soit f l’application de M2(K)
dans lui-même dé;)ni par : f(M)=AM. Montrer que, dans les bases canoniques :
det(f)=(det A)^2
.

je vois pas comment faire ..

det(f)=det(AM)=Det(A)Det(M)

faudrait que je montrer que M vaut A dans l'endomorphisme de M2(K) ?

[zygomatique]

salut

soit A =

a b
c d

quelle est la base canonique de M2(k) ?

[Gonra]

la base canonique de M2(K) est (E1,E2,E3,E4)
avec
E1
1 0
0 0
E2
0 1
1 0
E3
0 0
1 0
E4
0 0
0 1

[Ben314]

Salut,

det(f)=det(AM)=Det(A)Det(M)

ça, c'est complètement faux : ce qui vaut det(A).det(M), c'est det(AM), c'est à dire det(f(M)) qui n'a rien à voir (à priori) avec det(f).
Ici, f est un endomorphisme entre deux ensembles de matrices, ce qui fait que l'écriture det(f(M)) a un sens, mais ce n'est pas du tout ça qu'on te demande, mais le déterminant de l'endomorphisme f.

Le plus simple vu que tu est en "petite dimension" étant clairement de faire ce que te suggère zygomatique, c'est à dire d'écrire la matrice de f dans une base de M2(K)
(et vu que M2(K) est de dimension 4, tu va obtenir une matrice 4x4 ce qui montre bien que ça n'a à priori rien à voir avec det(f(M)) qui est un déterminant 2x2)

[Gonra]

soit
A =
a b
c d

comme f est une endomorphisme de M2(K)
le determinant de f dans la base canonique est :
det(F)= det ( F(E1),F(E2),F(E3),F(E4))

F(E1)= A.E1=
a 0
c 0
de même on trouve que :
F(E2) F(E3)
0 a b 0
0 c d 0
puis F(E4)
0 b
0 d

donc on obtient la matrice 4x4 :
a 0 b 0
0 a 0 b
c 0 d 0
0 c 0 d

on retrouve bien det(A)^2 :lol5:

merci pour votre aide bonne soirée

[zygomatique]

merci et à toi aussi

:lol3: