DM sur les équations et pythagore

[CMoi01]

Bonjour,
J'ai un DM de mathématiques où il faut utiliser les équations tout en intégrant la théorème de Pythagore.L'énoncé est le suivant :

"MOT est un triangle tel que : OM = 3cm et OT = MT + 1 cm.
Quelle est la logueur du segment [MT] pour que Mot soit un triangle rectangle ?"

Merci d'avance :happy2: ,
CMoi01

[siger]

bonsoir

tout d'abord il faut determiner ou est l'angle droit dans le rectangle
dans un triangle rectangle l'hypothenuse est le plus grand des cotes, donc ce ne peux etre MT et par suite l'angle droit n'est pas en O
on peut supposer que OT est le plus grand des cotes, donc que l'agle droit est en M
dans ce cas le theoreme de pythagore permet d'ecrire
OM ^2 + MT ^2 = OT^2
en relaçant OM par sa valeur et OT par MT +1 on obtient MT apres simplification

[CMoi01]

Merci beaucoup :lol3:

[mathafou]

Bonsoir,

on peut supposer que

mais ne pas oublier que OM = 3 peut aussi être le plus grand côté etc ...
La seule "évidence" est que MT ne peut pas l'être, le plus grand côté, (car MT = OT + 1 > MT comme dit par siger)
mais sinon n'importe lequel des deux autres peut l'être.

donc deux solutions, ici obtenues par des constructions purement géométriques (pas à la même échelle)


une telle construction géométrique n'est pas demandée, puisqu'on demande de le résoudre algébriquement (par des équations)

[CMoi01]

Encore merci :lol3:

[chan79]

Il y a une construction rapide avec geogebra. Elle n'est pas "à la règle et au compas" et n'est pas du niveau Collège...
On sait que L'hyperbole est le lieu d'un point dont la différence des distances à deux points fixes est constante en valeur absolue. Donc on trace un segment OM de longueur 3. On place I et J pour le partager en 3 segments de même longueur. On trace l'hyperbole de foyers O et M qui passe par J.
Et T doit se trouver sur cette hyperbole et sur le cercle de diamètre OM.


A noter que l'aire de OMT est égale à 2 cm².

[mathafou]

Il y a une construction rapide avec geogebra. Elle n'est pas "à la règle et au compas" et n'est pas du niveau Collège...

comparer avec ma construction à la règle et au compas et élémentaire... :zen:

pour préciser je refais la figure avec juste les constructions indispensables :

tracer OM = 3cm
tracer un "demi carré" OMA de coté OM, et son centre I
puis le cercle circonscrit
ce cercle est le lieu des points d'où on voit le segment OM sous un angle de 45° (pourquoi on veut ça ? voir plus loin)
tracer le cercle de centre M et de rayon 1cm
ils se coupent en un point B sur le grand arc OM.
la perpendiculaire à (BM) issue de O coupe (BM) en T cherché
justification :
le triangle BTO est un triangle rectangle isocèle puisque triangle rectangle par construction et angle de 45° (angles inscrits)
donc TO = TB = TM + 1 CQFD

[chan79]

comparer avec ma construction à la règle et au compas et élémentaire... :zen:

J'avais bien compris ta construction. Les connaissances mises en jeu sont de niveau troisième. :zen:
C'était juste histoire de montrer une construction plus rapide sachant que geogebra trace très bien les coniques.