Grandes difficultés sur un exercice sur les produits scalaires

par **Queenofkill** » 08 Avr 2014, 18:46

Bonjour/ bonsoir à toutes et à tous !

Je me présente je suis une fille et j'ai 17 ans. Je suis en première Scientifique. Je me suis inscrit sur ce forum sympathique qui, je le pense, pourrait m'aider dans ma recherche. Voici l'exercice que j'ai à faire:

ABC est un quadrilatère, I et J sont les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].
a) Démontrer que: AC²+BC²+CD²+AD²=4IJ²+AC²+BD²
b) Euler affirmait: "la somme des carrés des côtés d'un quadrilatère est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales.". Peut-on avoir égalité ? Dans quelle situation ?

J'ai commencé à utilisé le théorème de la médiane et la relation de Chasles mais je me suis perdue dans mes propres calculs, sachant que je suis vraiment nulle en mathématiques. Il est maintenant 19h45 et je m'y suis mise vraiment à 16h... J'ai vraiment besoin d'aide. Je vous remercie d'avance ! Bonne soirée/Bonne journée à toutes et à tous ! :we: :lol3:

par **chan79** » 08 Avr 2014, 19:36

Queenofkill a écrit:a) Démontrer que: AC²+BC²+CD²+AD²=4IJ²+AC²+BD²
: :lol3:

C'est AB² au lieu de AC²; ça explique peut-être tes difficultés

BA²+BC²=
DA²+DC²=
IB²+ID²=

par **Queenofkill** » 08 Avr 2014, 19:45

chan79 a écrit:C'est AB² au lieu de AC²; ça explique peut-être tes difficultés

Oui excusez-moi je me suis trompée en voulant l'écrire. Je vous remercie mais ça n'explique pas mes difficultés, le problème est que les mathématiques n'est pas mon fort et donc j'ai besoin d'être guidée dans cette matière. Merci beaucoup.

par **chan79** » 08 Avr 2014, 19:46

Queenofkill a écrit:Oui excusez-moi je me suis trompée en voulant l'écrire. Je vous remercie mais ça n'explique pas mes difficultés, le problème est que les mathématiques n'est pas mon fort et donc j'ai besoin d'être guidée dans cette matière. Merci beaucoup.

J'ai complété ci-dessus

par **paquito** » 08 Avr 2014, 22:23

Vu l'allure de la formule à démontrer je pense qu'il faut décomposé IJ de 4 façon différente en faisant intervenir les 4 côtés: par exemple IJ=IA+AB+BI; après il faudrait élever 4 fois IJ au carré (3 carrés et 3 trois produits scalaire à chaque fois) en tenant compte par exemple de AI+1/2AC.
Je n'ai pas eu le courage de faire tout ça ce soir;je tenterais de le faire demain. En tout cas, il n'y a pas de solution simple (le théorème de la médiane ne donne rien).

par **chan79** » 09 Avr 2014, 07:47

paquito a écrit:Vu l'allure de la formule à démontrer je pense qu'il faut décomposé IJ de 4 façon différente en faisant intervenir les 4 côtés: par exemple IJ=IA+AB+BI; après il faudrait élever 4 fois IJ au carré (3 carrés et 3 trois produits scalaire à chaque fois) en tenant compte par exemple de AI+1/2AC.
Je n'ai pas eu le courage de faire tout ça ce soir;je tenterais de le faire demain. En tout cas, il n'y a pas de solution simple (le théorème de la médiane ne donne rien).

BA²+BC²=AC²/2+2BI² ligne 1 (th médiane)
DA²+DC²=AC²/2+2DI ligne 2 (th médiane)
IB²+ID²=BD²/2+2IJ² ligne 3 (th médiane)
2IB²+2ID²=BD²+4IJ² ligne 4 (ligne 3 multipliée par 2)
On ajoute les lignes 1, 2 et 4 et on a le résultat

par **paquito** » 09 Avr 2014, 08:22

chan79 a écrit:BA²+BC²=AC²/2+2BI² ligne 1 (th médiane)
DA²+DC²=AC²/2+2DI ligne 2 (th médiane)
IB²+ID²=BD²/2+2IJ² ligne 3 (th médiane)
2IB²+2ID²=BD²+4IJ² ligne 4 (ligne 3 multipliée par 2)
On ajoute les lignes 1, 2 et 4 et on a le résultat

Bien vu! Surtout l'utilisation tu triangle BDI. Pas simple quand même......

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