Borne supérieure
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Ncdk
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par Ncdk » 05 Avr 2014, 23:50
Bonsoir,
Je planche sur la fin d'un exercice, et je comprends pas pourquoi en fait, surement une erreur dans ma logique :
Énoncé :
Soit
)
satisfaisant :
| \lt +\infty)
et
| \lt +\infty)
1)
Montrer que :| \leq \frac{2M_0}{y} + \frac{yM_2}{2})
pour tout nombre réel y>0.
Indication : Utiliser la bonne formule de Taylor entre x et x+y.
QUESTION FAITE2)
En déduire que : 
3)
Démontrer que :
Donc je planche à la question deux, je ne sais pas d'où partir en fait...
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Ben314
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par Ben314 » 06 Avr 2014, 00:07
Ben... :doh:
Vu que la majoration est valable pour tout y>0, pt'êt que ça serait pas con de chercher le meilleur y possible, c'est à dire d'étudier les variations de 2Mo/y+yM2/2 pour en trouver le min...
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Ncdk
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par Ncdk » 06 Avr 2014, 00:14
J'étais entrain de le faire, je vais mettre mon étude mais je sens qu'un truc ne marche pas, ou alors c'est moi qui fait n'importe quoi dans mes calculs.
On est d'accord que l'on partirait sur le fait que
 = \frac{2M_0}{y} + \frac{yM_2}{2})
Quand on passe à la dérivée on obtient
=-\frac{2M_0}{y^2} + \frac{M_2}{2})
De plus pour le tableau de variation donc pour y dans ]0;+inf[, on a la dérivée qui s'annule lorsque
Donc
)
est bien le minimum non ?
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Ben314
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par Ben314 » 06 Avr 2014, 00:32
Oui,
(modulo que tu devrais pas appeler ton truc f(y) vu qu'il y a déjà une fonction f dans l'énoncé...)
Et ça te donne bien lé réponse à la question 2)
Pour la 3)... je suis sec pour le moment
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Ncdk
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par Ncdk » 06 Avr 2014, 00:36
Ben314 a écrit:Oui,
(modulo que tu devrais pas appeler ton truc f(y) vu qu'il y a déjà une fonction f dans l'énoncé...)
Et ça te donne bien lé réponse à la question 2)
Pour la 3)... je suis sec pour le moment
Mais le soucis est que quand j'ai ça :
Je sais pas comment le vérifié d'une part, je vois pas comment ça prouve ce que l'on devait déduire à la base de notre question.
Ou alors c'est moi qui sait pas faire des petits calculs élémentaires. Est-ce que ça te gênerai de me montrer la preuve, j'ai beau faire des choses mais en vain, il doit me manquer un petit truc de rien du tout ^^
Pour la 3) je vais y réfléchir demain mais je pense que ça tourne autour de la formule de Taylor-Lagrange.
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Ben314
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par Ben314 » 06 Avr 2014, 00:42
Le min. de la fonction
 = \frac{2M_0}{y} + \frac{yM_2}{2}\)
est obtenu pour
et il vaut :
 = M_0\sqrt{\frac{M_2}{M_0}}+M_2\sqrt{\frac{M_0}{M_2}}= \sqrt{M_0^2\frac{M_2}{M_0}}+\sqrt{M_2^2\frac{M_0}{M_2}}=\sqrt{M_0 M_2}+\sqrt{M_0 M_2})
Pour la 3), je pense pas que Taylors-Quoiquecesoit améliore la majoration (à voir...)
Par contre,
, c'est le minimum de la fonction
 = \frac{M_0}{y} + \frac{yM_2}{2}\)
donc je soupçonne une "astuce" concernant le signe de
(celle de l'énoncé...) qui permettrait de majorer
-f(x)|\)
par
au lieu de
.
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par Ncdk » 06 Avr 2014, 00:51
Merci, j'ai vu ou j'ai bloqué, c'est assez honteux :)
Pour la 3), je vais m'y pencher demain, si je galère je posterai ici.
Merci de ton aide :)
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Ncdk
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par Ncdk » 06 Avr 2014, 13:15
Je crois avoir trouver pour la 3), peut-on dire que f(x+y)-f(x-y) = f(x) ?
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Ben314
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par Ben314 » 06 Avr 2014, 13:53
Ncdk a écrit:Je crois avoir trouver pour la 3), peut-on dire que f(x+y)-f(x-y) = f(x) ?
A priori (et clairement)... non.
Mais c'est la bonne idée : Pour tout
et tout
on a
=f(x)+f'(x)y+\frac{f''(c)}{2}y^2\)
pour un certain
=f(x)-f'(x)y+\frac{f''(d)}{2}y^2\)
pour un certain
En retranchant la 2em de la première, il vient :
=\frac{f(x+y)-f(x-y)}{2y}+\frac{f''(d)-f''(c)}{4}y)
donc
qui permet de conclure.
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Ncdk
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par Ncdk » 06 Avr 2014, 14:20
Ben314 a écrit:A priori (et clairement)... non.
Mais c'est la bonne idée : Pour tout
et tout
on a
pour un certain
pour un certain
En retranchant la 2em de la première, il vient :
donc
qui permet de conclure.
Parfait merci, c'est clairement ce que tu avais eu comme idée hier.
Merci de ton aide
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