Analyse

[OrsayMPI]

Bonjour,

Concernant la fonction f(x) = sin(x²)/x, comment peut - on prévoir le caractère " oscillatoire " du graphe ?

Et comment peut - on déterminer le maximum et le minimum absolus de la fonction ?

Merci

[alm]

Salut
Les oscillations sont imposé par puisque est strictement croissante.
C'est donc le graphe de (blue) 'amplifié' suivant par laquelle elle es multipliée (rouge)
Les extrémums correspondent à quand c'est positif.

[Ben314]

Salut, ça :

...Les extrémums correspondent à quand c'est positif.

c'est les extrémum de x->sin(x²).
Sauf que pour passer de cette fonction à sin(x²)/x, on multiplie par 1/x qui n'est pas constant donc cela "déforme" la courbe et change la valeur des extrémums.
On peut aussi bêtement dériver x->sin(x²)/x pour constater que les zéros de la dérivée ne sont pas les mêmes que ceux de la dérivée de x->sin(x²)...

Le maximum absolue de la fonction est la plus petite solution >0 de l'équation f'(x)=0, c'est à dire que l'on ne sait pas résoudre de façon exacte (avec uniquement les fonctions usuelles).
Par contre, il est très facile d'en obtenir des approximations aussi précise que l'on veut...

[OrsayMPI]

Ah ok donc à chaque fois qu'il y aura une fonction strictement croissante à l'intérieure du sinus, il y aura des oscillations ?

Et comment faire pour déterminer la valeur maximale que prend notre fonction ?

[Ben314]

Ah ok donc à chaque fois qu'il y aura une fonction strictement croissante à l'intérieure du sinus, il y aura des oscillations ?

Pour qu'il y ait une réponse "carrée" à ta question, il faudrait que tu définisse de façon rigoureuse ce que tu appelle une fonction "qui a des oscillations".

Si on prend comme définition de "qui a des oscillations" le fait que la fonction change une infinité de fois de signes alors, il est effectivement assez facile de vérifier que, si avec g,h dérivables, g>0 et h(x)->oo si x->oo alors effectivement, f est "avec des oscillations".

[deltab]

Bonjour.

Il se trouve que la fonction donnée est prolongeable pas continuité en . Elle donc bornée au voisinage de 0. On est en présence d'oscillations amorties.Les propriétés d'une fonction analogue à f vont dépendre grandement des fonctions qui la composent.
Exemples
1) n'est bornée au voisinage de 0,
2) , l'amplitude croit indéfiniment.

[Ben314]

Ah ok donc à chaque fois qu'il y aura une fonction strictement croissante à l'intérieure du sinus, il y aura des oscillations ?

Par contre, ça, c'est clairement insuffisant comme condition : par exemple, ça m'étonnerais que qui que ce soit dise que "fait des oscillations", quelle que soit la définition choisie de "fait des oscillations".

[OrsayMPI]

Le maximum absolue de la fonction est la plus petite solution >0 de l'équation f'(x)=0, c'est à dire que l'on ne sait pas résoudre de façon exacte (avec uniquement les fonctions usuelles).
Par contre, il est très facile d'en obtenir des approximations aussi précise que l'on veut...

Existe - il un " critère " ou une condition nécessaire ( et/ou suffisante ) pour qu'une telle équation soit résoluble de manière exacte ?

[Ben314]

Existe - il un " critère " ou une condition nécessaire ( et/ou suffisante ) pour qu'une telle équation soit résoluble de manière exacte ?

Clairement, non : tu part d'une équation "faisable" (second degrés ou style sin(truc)=sin(bidule) ou n'importe quoi d'autre) et tu fait des tonnes de "bricolage" (changement de variables, passage à des racines carrées, etc...) et tu aura un truc qui semble totalement irrésoluble de façon exacte alors qu'évidement c'est faisable vu la façon dont tu as obtenu ton équation...

Par exemple, il est très fréquent que, pour résoudre un problème, on attaque avec une "mauvaise idée" qui conduit à des calculs... abominable et à la fin un truc qui semble désespérément "irrésoluble" (de façon formelle).
Là, on fait quelques tentatives "numériques" (avec l'ordi.) pour résoudre le bidule et on constate que ça donne des solution étonnement simples...
On y regarde de plus prés et on constate qu'effectivement, le truc "tout pourri", on peut le résoudre après moultes changement de variables, factorisation, etc...
Et, souvent, au vue des solutions somme toutes assez simple, on fini par comprendre qu'on a pas attaqué le problème par le bon bout et qu'il y avait une méthode bien plus simple où les calculs s'enchainaient sans problèmes...

[alm]

Salut, ça :c'est les extrémum de x->sin(x²).

Merci Ben314 d'avoir précisé ça et je parlais effectivement de ces extrémums de , car ils correspondent aux points de contact avce le graphe délimitant ( celui de ) . Ta précision est importante car elle implique entre autres que ces points de contact ne sont pas forcément lesextrêmus de la fonction globale.

[alm]

Ah ok donc à chaque fois qu'il y aura une fonction strictement croissante à l'intérieure du sinus, il y aura des oscillations ?

Et comment faire pour déterminer la valeur maximale que prend notre fonction ?

strictement croissante continue et tends vers + l'infinie suffit( en d autre terme se comporte comme x .... pour passer par toutes les valeurs d'un intervalle [A,+l'infini[ une seule fois )
Si tu veux les points de contact ce sont les extremeums de sin( ....) et si tu veux les extremums de f il faut les chercher en dérivant f si celle ci est dérivables ec....

[deltab]

On peut changer x^2 par une fonction g(x) monotone bornée pour obtenir des propriétés différentes exemple où est un paramètre >0.