Approximer un nuage de point par une fonction

[bend66]

Bonjour,
Dans le cadre de mon mémoire, j'aimerais pouvoir à partir d'un nuage de point determiner une fonction qui les représente.

Mon nuage de point est la vitesse en fonction de la distance parcoure depuis le point de départ donc la courbe est croissante puis décroissante plusieurs fois.

Prémière question: Est-il possible de determiner une fonction à partir de ce type de points ? Ou bien faut-il découper la en plusieurs sous parties ? Et si oui comment faire ?

J'ai vu que il existe la méthode des moindres carrés ainsi que la méthode de Gauss-Newton. Laquelle est la plus efficace?

Merci de votre aide.

Benoit

[Robic]

Un truc qui peut souvent aider dans ces cas là, c'est de savoir à l'avance par la théorie quel type de fonction on doit avoir. Est-ce le cas ? Après tout, cette manipe sur les vitesses n'est pas complètement aléatoire, je suppose.

[JeanJ]

Bonjour bend66,

je n'ai pas grand chose à ajouter aux remarques judicieuses de Ben314 et Robic.
En ce qui concerne la méthode "des moindre carrés", on trouve cela dans tous les ouvrages de statistiques. Une petite recherche sur la toile avec le mot clef "régression" et entre autres sur Wikipédia, te donnera satisfaction.
De plus, si cela peut t'aider pour aborder ces questions d'optimisation de fonctions, tu peux jeter un coup d'œil sur le paragraphe d'introduction de l'article "Régressions, coniques, quadriques, circulaires, sphériques, etc." publié sur Scribd : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[bend66]

Un truc qui peut souvent aider dans ces cas là, c'est de savoir à l'avance par la théorie quel type de fonction on doit avoir. Est-ce le cas ? Après tout, cette manipe sur les vitesses n'est pas complètement aléatoire, je suppose.

La courbe de vitesse du train peut être assez aléatoire, elle dépend de la pente, de l'accéleration appliquée par le conducteur, de la limitation de vitesse, des feux rouges, des arrêts etc..

N'y a t-il pas des méthodes d'analyse numérique pour détecter le type de courbe ?

[Robic]

Si c'est assez aléatoire, est-ce pertinent de vouloir trouver une fonction correspondant au nuage de point ? Heu... c'est pour quoi faire ?

Là, si la vitesse dépend de plein de facteurs au point de donner une courbe qui croît, décroit, recroît et ainsi de suite, peut-être que ça ne sert à rien ? Doit-on s'attendre à un comportement précis, par exemple est-ce que la courbe doit être périodique ?

La méthode des moindres carrés suppose qu'on connaît à l'avance l'allure de la courbe. Par exemple lorsqu'on compte les étoiles (N) en fonction de leur magnitude (m), on sait, pour des raisons théoriques, qu'on va obtenir une loi du type .

[bend66]

Le but est de pouvoir comparer plus facilement la courbe de vitesse d'un trajet de réference avec celui d'un conducteur. Le fait d'approximer permet de devoir stocker beaucoup moins de données. Après si la courbe croit puis décroit, on pourrais tout simplement créer des tronçons ou la courbe est monotone (Cela est facilement faisable).Par contre comment faire alors pour déduire une fonction de ces points ? Comment savoir de quelle famille est la fonction ?
Peux t on dire que c'est une fonction cubique par exemple ax^3+bx^2+cx+d et en déduire ensuite que a == 0 ?

[Robic]

Le fait d'approximer permet de devoir stocker beaucoup moins de données.

Ah OK, je comprends mieux !

Effectivement, couper en tronçons où la fonction est monotone semble une bonne idée. Il faudrait ensuite regarder l'allure du nuage de points dans un tel tronçon pour savoir si c'est linéaire ou cubique ou je ne sais quoi. Mais si ça se passe comme je le soupçonne (il n'y a pas une courbe à laquelle on se rapprocherait lorsqu'on met de plus en plus de points) et si c'est assez régulier, j'imaginerais plutôt de définir une suite de courbes splines qui interpolerait les extrêma.

[bend66]

Ah OK, je comprends mieux !

Effectivement, couper en tronçons où la fonction est monotone semble une bonne idée. Il faudrait ensuite regarder l'allure du nuage de points dans un tel tronçon pour savoir si c'est linéaire ou cubique ou je ne sais quoi. Mais si ça se passe comme je le soupçonne (il n'y a pas une courbe à laquelle on se rapprocherait lorsqu'on met de plus en plus de points) et si c'est assez régulier, j'imaginerais plutôt de définir une suite de courbes splines qui interpolerait les extrêma.

Je crois que ça sort de mon domaine de connaissances. Comment faire pour définir de telles splines ? Je présume que il faut définir alors un polynome sur chaque intervalle ? Comment alors faire une approximation de cette spline ?

[Robic]

Les splines sont des courbes qui relient des points (interpolation). Je ne sais pas s'il existe des méthodes pour les utiliser avec des nuages de points. Mais on peut très bien imaginer les utiliser pour relier les extrêma, qu'il faudra définir d'une façon ou d'une autre à partir du nuage de points.

Ces courbes ont comme propriété qu'elles sont régulières. Elle peuvent être adaptées si la courbe que tu obtiens l'est aussi. Si par exemple il y a des sauts, ça n'ira plus.

Si tu as le temps de t'y intéresser, je te suggère de trouver sur Internet un cours pas trop ambitieux sur les splines. Par exemple : http://stephane.basnary.free.fr/cifop/EiCNAM-ISIP/cours_bts_iris.pdf à la page 167 (c'est un cours de BTS, donc bac+2, il faut quand même connaître les courbes paramétrées je pense).

[deltab]

Bonjour.

Je crois qu'en premier lieu qu'il faut s'attarder sur le phénomène physique lui-même, dans le cas d'une voiture par exemple le nuage de points correspond à quel type de route (rase-campagne ou agglomération?), aux horaires (heures de pointes ou pas), quel est le but de l'étude?

Ceci n'est qu'un point de vue et peut aider à choisir la forme des fonctions à utiliser pour l'approximation.