Endomorphismes

[OrsayMPI]

Salut tout le monde,

Je voulais savoir.. Si on a une application linéaire f qui va de E dans E, est - il toujours vrai que le noyau et l'image de l'application sont supplémentaires dans E ?

Par le théorème du rang on sait qu'on a toujours dim(E) = Dim( Ker f ) + Dim( Im f) mais je sais pas si l'intersection est toujours nulle.

Merci

[Ben314]

Si {e1,e2] est une base d'un K-e.v. E de dim 2 et si on prend l'unique application linéaire de E dans E telle que f(e1)=0 et f(e2)=e1, c'est quoi le noyau ? l'image ?

[OrsayMPI]

Ah oui en effet, on a Im f = Vect(e1) et Ker f = Vect(e1).
Mince, ça aurait été plus cool que ça soit vrai.
Merci !

En passant j'ai deux autres questions :

- Est - il possible d'avoir la dimension de l'ensemble de départ d'une application linéaire plus petite que la dimension de l'ensemble d'arrivé ? ( D'après le théorème du rang non mais bon je vois pas ce qui nous l'interdirait )

- Pour qu'une application linéaire soit injective, il faut forcément qu'il s'agisse d'un endomorphisme non ? Sinon Dim( Ker f ) est nécessairement non nul d'après le théorème du rang ( dans le cas où la dim de l'ensemble de départ est strictement plus grande que celle de l'ensemble d'arrivée )

[Ben314]

- Est - il possible d'avoir la dimension de l'ensemble de départ d'une application linéaire plus petite que la dimension de l'ensemble d'arrivé ? ( D'après le théorème du rang non mais bon je vois pas ce qui nous l'interdirait )

- Pour qu'une application linéaire soit injective, il faut forcément qu'il s'agisse d'un endomorphisme non ? Sinon Dim( Ker f ) est nécessairement non nul d'après le théorème du rang ( dans le cas où la dim de l'ensemble de départ est strictement plus grande que celle de l'ensemble d'arrivée )

Pour la question 1), si tu n'as pas dans les hypothèse que f est surjective, l'e.v. d'arrivé, il peut être aussi gros que tu veut. Par exemple, l'application de K->K^n ; x->(x,0,0,0...,0) c'est évidement linéaire (et évidement non surjectif !)

pour la question 2), non : être injectif/surjectif/bijectif, non seulement ça veut dire quelque chose pour n'importe quelle application de A->B (A et B quelconques) mais en plus c'est toujours utile...

Par exemple, lorsque tu "compte" les élèves de la classe, tu créé une fonction qui, à chaque entier 1,2,3,...,n associe un élève de la classe.
Si tu t'est pas gourré en comptant, c'est une bijection de l'ensemble {1..n} (où n est le nombre d'élèves) sur l'ensemble des élèves.
Si tu t'es gourré, c'est que :
- Soit c'est pas surjectif, ce qui veut dire que tu as oublié de compter un élève.
- Soit c'est pas injectif et ça veut dire qu'il y a un élève que tu as compté (au moins) deux fois.

Si tu les a compté une et exactement une fois chacun, c'est bon : c'est bijectif (et n est bien le nombre d'élèves de la classe)

Pour moi, c'est cet exemple débile qui explique le mieux l'intérêt des notions injectives/surjectives/bijectives.
(et les ensembles {1...n} et l'ensembles des élève de la classe, c'est pas franchement des "espaces vectoriels...)

[Ben314]

Pour qu'une application linéaire soit injective, il faut forcément qu'il s'agisse d'un endomorphisme non ? Sinon Dim( Ker f ) est nécessairement non nul d'après le théorème du rang ( dans le cas où la dim de l'ensemble de départ est strictement plus grande que celle de l'ensemble d'arrivée )

En fait, j'ai mal compris la question dans mon post précédent...
Mais la réponse est de nouveau non : l'application x->(x,0,0,0...,0) de K dans K^n est clairement injective (et pour cause !!!) et linéaire alors que les espaces de départ et d'arrivé ne sont pas les mêmes (et ils n'ont même pas la même dimension...)

Aprés, ce qui est vrai, c'est que, s'il existe une fonction injective de E dans F (des e.v. de dim finie) alors forcément dim(E)=dim(F)

Et, s'il existe une bijection de E dans F alors dim(E)=dim(F) (mais ça ne prouve toujours pas que E=F...)