Limites

[OrsayMPI]

Salut tout le monde,

Je me penchais sur la question de savoir si

max(f(x),g(x)) = max( f(x), g(x)) avec f et g deux fonctions continues dans R.

Voici le raisonnement :

D'une part :

max(f(x),g(x)) = f(x) si f(x) g(x)

max(f(x),g(x)) = g(x) si g(x) f(x)

D'autre part :

max( f(x), g(x)) = f(x) si f(x) g(x)

max( f(x), g(x)) = g(x) si g(x) f(x)

Or f(x) g(x) n'implique pas f(x) g(x), les deux assertions ne sont donc pas équivalentes, donc c'est faux.

Or en utilisant la formule max(x,y) = (|x - y| + x + y)/2 je trouve que c'est vrai.

Où est l'erreur dans mon premier raisonnement ? ( Je pense que le second est le bon ).

Merci

[Monsieur23]

Aloha,

En fait, ton équivalence est vraie pour deux fonctions continues qui ont une limite en x0 : au voisinage de x0 (le seul endroit qui t'intéresse), si f est plus grand que g, alors la limite de f est plus grande que la limite de g.
Inversement, si la limite de f est plus grande que la limite de g, il existe un voisinage de x0 où f sera plus grand que g.

[Ben314]

Salut, là :

D'une part :

max(f(x),g(x)) = f(x) si f(x) g(x)

max(f(x),g(x)) = g(x) si g(x) f(x)

Il y a une grosse erreur de raisonnement :
Contrairement au cas des réels, la relation d'ordre usuelle n'est pas une relation d'ordre totale sur l'ensemble des fonctions.
On peut parfaitement n'avoir ni , ni , même si on se restreint au voisinage d'un point xo.
Par exemple, pour et , même sur un minuscule intervalle centré en 0, on n'a ni , ni .

Conclusion : on ne peut pas se contenter de traiter uniquement ces deux cas...

[OrsayMPI]

Merci pour vos réponses :)