Fonction injective et continue

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai un petit exo dont je bloque à la seconde question...

Exercice : B : T={(x,y) € I² , x R
(x,y) -> B(x,y) = f(x) - f(y)

Avec a un point fixé de T

1) Montrer que f est strictement croissante (r. décroissante) sur I si et seulement si B est strictement négative (r. positive) sur T
2) Donner la raison pour laquelle B ne s'annule pas sur T. Nous supposerons dans la suite que (par exemple) B(a) > o
3) Soit X = (x,y) un autre point de T. Posons :

C : [0;1] -> R
t -> B((1-t)a + tX

Montrer que C est une application continue

4) Donner la raison pour laquelle c(1) > 0
5) Conclure. (L'objectif de l'exercice est de démontrer qu'une fonction injective et continue f sur I (un intervalle) de R est strictement monotone)

Place à mes recherches :

1) J'ai traduit la question sous forme d'équivalence :

f croissante B strictement négative
f décroissante B strictement positive

Mais j'ai un élément qui me trouble, l'implication réciproque est facile je trouve à prouver mais l'autre implication donc , une chose m'embête.

On suppose que f est croissante, alors et qui est la traduction d'une fonction croissante, mais donc après j'ai ce qui implique que B n'est pas strictement négative, il est là le soucis vu que je dois prouver que B est strictement négative.

2) Je vois pas du tout la raison en fait, car si B(x,y) est nul je vois pas pourquoi ce n'est pas possible en fait... :/

3) Je sais qu'une application est continue sur un intervalle [a,b] si elle est continue sur ]a,b[ donc continue à droite de a et à gauche de b. Je me trompe pas ?

4) Pas encore réfléchit sur le sujet, mais je pense que c'est peut-être la même raison qu'au petit 2.

[mrif]

Pour la 1) tu as oublié que la monotonie est stricte.
Pour la 2) il manque une hypothèse sur f (je suppose que f est strictement monotone).

[Ncdk]

Pour la 1) merci bien vu :)

Pour la 2) merci je viens de voir ou on peut en venir :D

Le reste m'embête bien maintenant :)

[mrif]

Pour la 1) merci bien vu

Pour la 2) merci je viens de voir ou on peut en venir

Le reste m'embête bien maintenant

La fonction C est mal définie puisque la fonction B prend comme argument un couple et non pas un nombre.
En lisant la fin de l'exercice, il parait que 'hypothèse qui manque en 2) est que f est injective.

[Ncdk]

La fonction C est mal définie puisque la fonction B prend comme argument un couple et non pas un nombre.
En lisant la fin de l'exercice, il parait que 'hypothèse qui manque en 2) est que f est injective.

Je ne pense pas vu que B est définit par un couple oui mais ce couple a pour valeur f(x)-f(y) qui est une valeur donc.