Systeme d'equation compliqué

par **lalolitadu94** » 31 Mar 2014, 15:42

Bonjour, je suis tombee sur cet exercice dans un cours d'analyse vectorielle et integrale multiple.
J'ai essayé theoreme des fonctions implicites mais je n'arri e pas a le resoudre.

Le systeme
x+y+sin (xy) = 2a
sin (x^2 + y) = 2a

Admet il une solution pour a suffisamment proche de 0 ?

Merci d'avance :)

par **Ben314** » 31 Mar 2014, 16:50

Salut,
As tu calculé la différentielle de la fonction (x,y)->(x+y+sin(xy),sin(x^2+y) en (0,0) ?
Cette application linéaire (la différentielle en (0,0)) est-elle bijective ?

Si oui, c'est fini : la fonction est localement bijective donc, pour a suffisamment proche de 0, le vecteur (a,a) aura un unique antécédent (proche lui aussi de (0,0)

par **lalolitadu94** » 31 Mar 2014, 16:55

Bah je ne sais pas si l'application est bijective, on ne me dit rien... mais le sinus n'est pas bijectif deja il me semble ?

par **Ben314** » 31 Mar 2014, 17:01

Ben314 a écrit:Salut,
As tu calculé la différentielle de la fonction (x,y)->(x+y+sin(xy),sin(x^2+y) en (0,0) ?
Cette application linéaire (la différentielle en (0,0)) est-elle bijective ?

ça m'étonerais fort qu'une application linéaire contienne du sinus... :cry:

par **lalolitadu94** » 31 Mar 2014, 17:15

Je vois pas vraiment en quoi montrer que la differentielle est bijective demontre qu'il y a des solutions :S
Desolee j'ai du mal a comprendre.
Je vais deja calculer la differentielle en (0,0) en tout cas et je verrai... merci

par **wserdx** » 31 Mar 2014, 17:33

lalolitadu94 a écrit:Je vois pas vraiment en quoi montrer que la differentielle est bijective demontre qu'il y a des solutions :S
Desolee j'ai du mal a comprendre.
Je vais deja calculer la differentielle en (0,0) en tout cas et je verrai... merci

Théorème d'inversion locale
C'est un équivalent du théorème des fonctions implicites...

par **lalolitadu94** » 31 Mar 2014, 17:58

Ah d'accord ! Merci beaucoup a vous deux !

par **lalolitadu94** » 31 Mar 2014, 21:32

Rebonsoir, j'ai trouvé
df = (1, 0) dx + (1,1) dy.
Je ne sais pas comment montrer que cette application est bijective...

par **wserdx** » 01 Avr 2014, 06:26

lalolitadu94 a écrit:Rebonsoir, j'ai trouvé
df = (1, 0) dx + (1,1) dy.
Je ne sais pas comment montrer que cette application est bijective...

Regarde un peu plus le lien que je t'ai indiqué, à la partie "dimension deux". Voir le déterminant de la matrice jacobienne.

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