Nombres parfaits

[Seelene]

Bonjour à tous,
J'ai un DM à faire en spé maths. Je bloquais sur la première partie, j'avais donc posté un post et on m'a aidé. Je bloque maintenant sur une question de la deuxième partie qui concerne les nombres parfaits.
Voici l'énoncé :

Un entier est dit parfait s'il est la somme de ses diviseurs positifs stricts (sauf lui-même) : exemple : 6 à pour diviseurs strict positifs 1,2,3 et 1+2+3=6

1)
a) Montrer que 28 est parfait
b) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 496, donner alors ses diviseurs, vérifier que 496 est parfait

2) On suppose que Mn=2^(n)-1 est premier. On étudie les nombres Pn=2^(n-1)*(2^(n)-1)
a) A l'aide de sa décomposition en produit de facteurs premiers, établir la liste des diviseurs de Pn et montrer qu'il est parfait.
b) Donner alors les 4 premiers nombres parfaits que l'on peut générer ainsi.


Je suis bloquée à la 2)a), je sais que les diviseurs de Pn sont : 1;2;2^2 ... 2^(n-1); 2^(n)-1; 2(2^(n)-1); 2^(2)(2^(n)-1) .... 2^(n-1)(2^(n)-1 jusqu'à 2^(n-2)(2^(n)-1)
Je crois avoir à peu près compris pourquoi c'était ceux là (mais sans décomposer Pn en déduisant). Mais je ne vois pas comment décomposer Pn en produit de facteurs.


Voilà, merci à ceux qui me répondront !

[coote]

Bonjour à tous,
J'ai un DM à faire en spé maths. Je bloquais sur la première partie, j'avais donc posté un post et on m'a aidé. Je bloque maintenant sur une question de la deuxième partie qui concerne les nombres parfaits.
Voici l'énoncé :

Un entier est dit parfait s'il est la somme de ses diviseurs positifs stricts (sauf lui-même) : exemple : 6 à pour diviseurs strict positifs 1,2,3 et 1+2+3=6

1)
a) Montrer que 28 est parfait
b) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 496, donner alors ses diviseurs, vérifier que 496 est parfait

2) On suppose que Mn=2^(n)-1 est premier. On étudie les nombres Pn=2^(n-1)*(2^(n)-1)
a) A l'aide de sa décomposition en produit de facteurs premiers, établir la liste des diviseurs de Pn et montrer qu'il est parfait.
b) Donner alors les 4 premiers nombres parfaits que l'on peut générer ainsi.


Je suis bloquée à la 2)a), je sais que les diviseurs de Pn sont : 1;2;2^2 ... 2^(n-1); 2^(n)-1; 2(2^(n)-1); 2^(2)(2^(n)-1) .... 2^(n-1)(2^(n)-1 jusqu'à 2^(n-2)(2^(n)-1)
Je crois avoir à peu près compris pourquoi c'était ceux là (mais sans décomposer Pn en déduisant). Mais je ne vois pas comment décomposer Pn en produit de facteurs.


Voilà, merci à ceux qui me répondront !

bonjour, on a (2^(n)-1) est premier alors quels sont les diviseurs de Pn ?

[Seelene]

bonjour, on a (2^(n)-1) est premier alors quels sont les diviseurs de Pn ?

Puisque (2^(n)-1) est premier ses diviseurs sont lui même et 1, donc pour Pn=2^(n-1)*(2^(n)-1)
ses diviseurs sont 2^(n-1) pour tout n entier naturel multiplié soit à 2^(n)-1 ou 1 ?

[coote]

Puisque (2^(n)-1) est premier ses diviseurs sont lui même et 1, donc pour Pn=2^(n-1)*(2^(n)-1)
ses diviseurs sont 2^(n-1) pour tout n entier naturel multiplié soit à 2^(n)-1 ou 1 ?

pourquoi multiplié ? tu cherche les diviseurs pour faire la somme, tu est proche alors. ( faite attention a n)

[Seelene]

pourquoi multiplié ? tu cherche les diviseurs pour faire la somme, tu est proche alors. ( faite attention a n)

Parce que je cherche à décomposer Pn en produit de facteurs, par la suite je trouve les diviseurs (que je connais déjà plus ou moi, que je trouve en faisant ce que je vous ai dit) et ensuite j'ajoute tous ces diviseurs et je devrai retomber sur Pn non ?

[coote]

Parce que je cherche à décomposer Pn en produit de facteurs, par la suite je trouve les diviseurs (que je connais déjà plus ou moi, que je trouve en faisant ce que je vous ai dit) et ensuite j'ajoute tous ces diviseurs et je devrai retomber sur Pn non ?

oui, exactement, donc les facteurs premiers sont 2 et 2^n-1 (n > 1) avec Mn premier

[Seelene]

oui, exactement, donc les facteurs premiers sont 2 et 2^n-1 (n > 1) avec Mn premier

Oui mais pourquoi ? Je comprend pas justement comment les trouver

[Ben314]

Salut,
Visiblement, le problème, c'est juste.. que tu as pas bien compris la question.
On te demande de partir de la décomposition de Pn en produit de nombres premiers pour en déduire les diviseurs de Pn

Sauf que Pn=2^n.Mn où 2 et Mn sont tout les deux des nombres premiers donc la fameuse "décomposition de Pn en produit de nombres premiers", ben c'est... Pn=2^n.Mn et c'est tout...

[Seelene]

Salut,
Visiblement, le problème, c'est juste.. que tu as pas bien compris la question.
On te demande de partir de la décomposition de Pn en produit de nombres premiers pour en déduire les diviseurs de Pn

Sauf que Pn=2^n.Mn où 2 et Mn sont tout les deux des nombres premiers donc la fameuse "décomposition de Pn en produit de nombres premiers", ben c'est... Pn=2^n.Mn et c'est tout...

Ha ... Ben oui c'est vrai ... J'avais pas faut attention au fait que 2^n était premier.

[Seelene]

Ben du coup je crois que c'est bon j'étais bloquée pour pas grand chose en fait.
Merci beaucoup ! :)

[Ben314]

Ha ... Ben oui c'est vrai ... J'avais pas faut attention au fait que 2^n était premier.

Fait gaffe à ce que tu écrit : c'est 2 qui est premier et évidement pas 2^n...

[coote]

Salut,
Visiblement, le problème, c'est juste.. que tu as pas bien compris la question.
On te demande de partir de la décomposition de Pn en produit de nombres premiers pour en déduire les diviseurs de Pn

Sauf que Pn=2^n.Mn où 2 et Mn sont tout les deux des nombres premiers donc la fameuse "décomposition de Pn en produit de nombres premiers", ben c'est... Pn=2^n.Mn et c'est tout...

desole, on cherche les diviseurs afin de faire leurs sommes.
de plus la decomposition reste 2^(n-1)*Mn

[coote]

finalement les diviseurs sont dk=2^k et d'k=2^k*Mn (0<= k<= n-1)
puis montrer que Sn=som_0^(n-1) (dk + d'k)= Pn

[Seelene]

finalement les diviseurs sont dk=2^k et d'k=2^k*Mn (0<= k<= n-1)
puis montrer que Sn=som_0^(n-1) (dk + d'k)= Pn

Du coup il faut que j'arrive a montrer que tous les diviseur sont de cette forme là et que par la suite j'utilise la formule des suites (je dirai géométriques ?) pour monter que Pn est un nombre parfait ?

[Seelene]

Ha c'est bon j'ai réussi a conclure ! Merci a tout le monde pour vos réponses