DM spé maths terminale S

[Seelene]

Bonjour à tous,
Je suis en terminale S spé maths et j'ai un DM sur lequel je bloque, voici l'énoncé :

Le DM concerne les nombres de Mersenne de la forme Mp = 2^(p)-1 avec p un nombre premier.

Partie A)
1) Vérifier que M2, M3, M5 et M7 sont premiers.
2) On étudie les nombres Mn=2^(n)-1 (n entier naturel non premier). On suppose d un diviseur de n avec d>1 et différent de n
a) soit x entier >1. Exprimer en fonction de x et n la somme 1+x+x^2+....+x^(n-1)
En déduire que x^(n)-1 est divisible par x-1
b) Montrer alors que mn est divisible par 2^(d)-1. En déduire que Mn n'est pas premier
3) En déduire une condition nécessaire pour que Mn soit premier
4) Cette condition est-elle suffisante ? (on pourra étudier le cas de M11)


Voilà je suis bloquée à partir de la question 2)b. J'ai réussi celle d'avant et je vois bien qu'il y a un lien entre la 2)a et la 2)b mais je n'arrive pas à la faire.


Merci beaucoup à ceux qui m'aideront ! :)

[t.itou29]

Bonjour à tous,
Je suis en terminale S spé maths et j'ai un DM sur lequel je bloque, voici l'énoncé :

Le DM concerne les nombres de Mersenne de la forme Mp = 2^(p)-1 avec p un nombre premier.

Partie A)
1) Vérifier que M2, M3, M5 et M7 sont premiers.
2) On étudie les nombres Mn=2^(n)-1 (n entier naturel non premier). On suppose d un diviseur de n avec d>1 et différent de n
a) soit x entier >1. Exprimer en fonction de x et n la somme 1+x+x^2+....+x^(n-1)
En déduire que x^(n)-1 est divisible par x-1
b) Montrer alors que mn est divisible par 2^(d)-1. En déduire que Mn n'est pas premier
3) En déduire une condition nécessaire pour que Mn soit premier
4) Cette condition est-elle suffisante ? (on pourra étudier le cas de M11)


Voilà je suis bloquée à partir de la question 2)b. J'ai réussi celle d'avant et je vois bien qu'il y a un lien entre la 2)a et la 2)b mais je n'arrive pas à la faire.


Merci beaucoup à ceux qui m'aideront !

Salut,
Comme n est divisible par d (different de 1 et n) il existe k>1 tel que:
donc et et tu n'as plus qu'a appliquer le résultat de la question 2a

[Seelene]

Salut,
Comme n est divisible par d (different de 1 et n) il existe k>1 tel que:
donc et et tu n'as plus qu'a appliquer le résultat de la question 2a

Mais je n'arrive pas à voir. Puisque à la question 2)a) on a montré que x^(n)-1 est divisible par x-1 (je l'ai fait à l'aide congruences). Or ici on se retrouve avec deux expressions avec des puissances.

[coote]

Mais je n'arrive pas à voir. Puisque à la question 2)a) on a montré que x^(n)-1 est divisible par x-1 (je l'ai fait à l'aide congruences). Or ici on se retrouve avec deux expressions avec des puissances.

non, c'est une application directe de 2)a)

[Seelene]

non, c'est une application directe de 2)a)

Donc il faut que je reprenne le raisonnement que j'ai utilisé à la 2)a) pour montrer que c'est divisible ?
J'avais commencé à traduire (2d)^(k)-1 en produit avec 2^(d)-1 en facteur et après une expression sous la forme d'une suite en gros. Mais ça me paraissait très compliqué

[coote]

Donc il faut que je reprenne le raisonnement que j'ai utilisé à la 2)a) pour montrer que c'est divisible ?
J'avais commencé à traduire (2d)^(k)-1 en produit avec 2^(d)-1 en facteur et après une expression sous la forme d'une suite en gros. Mais ça me paraissait très compliqué

Non, en considérant x=2^d, le résultat se découle directement

[Seelene]

Non, en considérant x=2^d, le résultat se découle directement

Haaa c'est bon je crois que j'ai trouvé !
Merci beaucoup !

[coote]

Haaa c'est bon je crois que j'ai trouvé !
Merci beaucoup !

http://profmathematic.blogspot.com/