Polynome, recherche

[naru2]

bonjours, j'ai une question sur un exercice de base sur les polynôme:
je doit déterminer tous les polynôme de de R[X] tel que P=P'P''

j'ai trouver que le degré de P doit être de 3 en disant que deg(P)=deg(P')+def(P")
et en appelant n le degré de P. est ce que cette argument est correct.

pour trouver P, j'ai penser à prendre différente valeur de x pour trouver les coefficients du polynôme mais ça ne va me donner qu’une solution?

[chan79]

bonjours, j'ai une question sur un exercice de base sur les polynôme:
je doit déterminer tous les polynôme de de R[X] tel que P=P'P''

j'ai trouver que le degré de P doit être de 3 en disant que deg(P)=deg(P')+def(P")
et en appelant n le degré de P. est ce que cette argument est correct.

pour trouver P, j'ai penser à prendre différente valeur de x pour trouver les coefficients du polynôme mais ça ne va me donner qu’une solution?

Salut
Pose

calcule , puis leur produit et identifie avec .
Attention aux cas particuliers.
Il y a une infinité de solutions.

[Ben314]

Salut,

1) Attention a commencer par étudier le(s) cas où le degré n'existe pas (i.e. où l'un des polynôme est nul) AVANT d'écrire l'équation concernant les degré.

2) Si ça t'amuse, une solution alternative au fait de dériver le polynôme puis d'identifier les coeff. ça peut être de dire que signifie très exactement que donc chercher équivaut à chercher les dérivées successives en 0.
Or ,
En dérivant, ,
etc.
Évidement (et heureusement...) on tomber sur les mêmes équations que celles qu'on obtiendrait et dérivant puis en identifiant les coefficients...

3) Si tu veut encore plus t'amuser, tu peut aussi raisonner sur les racines (éventuellement complexes) des polynômes :
Vu que P=P'P", toute racine de P' est elle même racine de P donc si elle est racine d'ordre d de P', elle est racine d'ordre d+1 de P.
Si les racines de P' sont a1,a2,...ak d'ordres respectifs d1,d2,...dk donc avec d°(P')=d1+d2+...dk, alors ces mêmes a1,a2,...ak sont racines de P d'ordre d1+1,d2+1,...,dk+1 donc d°(P)=(d1+1)+(d2+1)+...+(dk+1). Sauf que d°(P)=d°(P')+1 donc on a forcément k=1 ce qui signifie que P admet une unique racine.
P est donc forcément de la forme et en injectant ça dans on trouve immédiatement que puis que .
Par contre est quelconque ce qui n'est pas étonnant vu que la formule est "stable par translation", c'est à dire que, si P(X) vérifie la formule alors P(X+a) aussi.

[naru2]

bonjours, et merci de vos réponses,

donc je doit faire les cas ou P=0, P'=0 et P"=0
d’accord je vais essayer les deux méthodes,
je voulais savoir, si j'ai une relation avec les dérivées,une des méthodes pour trouver les coefficients est d'utiliser la formule de Taylor?
que veut dire la notation d° ?

[Ben314]

d°(P), c'est le degré du polynôme P

[naru2]

d°(P), c'est le degré du polynôme P

d'accord, mais juste je ne voit pas d’où sort le k=1 quand j'écrit d1+d2+..dk=d1+1+d2+1+...dk+1+1?

[Ben314]

d'accord, mais juste je ne voit pas d’où sort le k=1 quand j'écrit d1+d2+..dk=d1+1+d2+1+...dk+1+1?

Le "+1" en plus, il est de l'autre coté du égal.
Et, vu que 1+1+1+...+1 (k fois), ça fait k, lorsque tu retranche d1+d2+...+dk des deux cotés, il reste k=1.

[naru2]

Le "+1" en plus, il est de l'autre coté du égal.
Et, vu que 1+1+1+...+1 (k fois), ça fait k, lorsque tu retranche d1+d2+...+dk des deux cotés, il reste k=1.

je me suis trompé dans l'égalité,
d'accord je comprend,
en tout cas merci de tes réponses,
je repasserai si je bloque encore,