Trop facile ??? - produit

[t.itou29]

Bonsoir,
Je suis tombé sur un "problème" et la solution semble trop facile a moins que je n'ai pas compris l'énoncé
Soit
où les et
Trouver
À première vue je dirai 1996! mais le problème aurait aucun intérêt...

[Sourire_banane]

Bonsoir,
Je suis tombé sur un "problème" et la solution semble trop facile a moins que je n'ai pas compris l'énoncé
Soit
où les et
Trouver
À première vue je dirai 1996! mais le problème aurait aucun intérêt...

Salut,

Je dirais ça aussi. Le seul moyen d'obtenir le coefficient de plus haut degré est de multiplier tous les entre eux.

[t.itou29]

Salut,

Je dirais ça aussi. Le seul moyen d'obtenir le coefficient de plus haut degré est de multiplier tous les entre eux.

C'est bien ce que je pensais, le problème n'a aucun intérêt alors, à la limite ou ou tout indice autre que le plus grand aurait été intéressant. Bizarre...

[Ben314]

Salut,
je ne comprend pas trop quel raisonnement vous faîtes pour en déduire que le 1996-ème terme non nul du polynôme est le terme de plus haut degré (et quand je dit que je ne comprend pas... je me comprend...)

Vous voulez pas juste jeter un petit coup d'oeil "à la main" dans le cas où on remplace les deux occurrences de 1996 dans l'énoncé par.... mettons 2...

P.S. on peut tout à fait calculer et

[Robic]

Commençons même par remplacer 1996 par 1. On considère donc le polynôme . Le coefficient a_1 vaut 1.

En remplaçant 1996 par 2, on obtient comme polynôme c'est-à-dire . Le coefficient a_2 est donc égal à 2.

En remplaçant 1996 par 3, on obtient :
.
Le coefficient a_3 est donc encore égal à 2. (Tiens, la première moitié du polynôme, c'est le polynôme précédent. Normal puisqu'on a multiplié le précédent par 1+3x^27.)

Essayons avec 4, ça donne le polynôme :

.
Le coefficient a_4 est égal à 3.

En fait on voit les coefficients suivants se construire peu à peu, vu que le polynôme se complète au fur et à mesure. Si on remplace 1996 par 5, a_5 devrait être égal à 3. Ensuite on aura : 6, 6, 4, 4, 8, 8, 12, 12, 24, 24... Il faut essayer de deviner la suite.

Donc on en est à :
1-1 2-2 3-3 6-6
4-4 8-8 12-12 24-24

Ensuite on va multiplier par (1+5x^243) donc le polynôme complet sera le précédent plus 5x^246 + la suite :
5 x (1-1 2-2 3-3 6-6)
5 x (4-4 8-8 12-12 24-24)
ce qui donne au total :
1-1 2-2 3-3 6-6
4-4 8-8 12-12 24-24
5-5 10-10 15-15 30-30
20-20 40-40 60-60 120-120

Et si on remplace 1996 par 6, on va avoir les 4 lignes précédentes, puis les 4 lignes précédentes multipliées par 6 :
1-1 2-2 3-3 6-6
4-4 8-8 12-12 24-24
5-5 10-10 15-15 30-30
20-20 40-40 60-60 120-120
6-6 12-12 18-18 36-36
24-24 48-48 72-72 144-144
30-30 60-60 90-90 180-180
120-120 240-240 360-360 720-720

Voilà : j'ai calculé les 64 premiers coefficients. Mais je ne vois pas venir de formule pour calculer a_1996. Il faut probablement diviser par 64, 128, 256...

- Si je recopie ces 8 lignes et que j'ajoute celles-ci multipliées par 7, j'aurais 128 coefficients.
- Si je recopie les 16 lignes ainsi obtenues et que j'ajoute celles-ci multipliées par 8, j'aurais 256 coefficients.
- Et ainsi de suite jusqu'à atteindre 1996. Il suffit alors de regarder où il est placé dans le tableau pour deviner sa valeur (c'est sans doute lié à son écriture en base 2).

Je n'ai pas résolu le problème, mais je pense avoir un peu avancé...

[Ben314]

Les différents exposants que tu as dans tes développements, ils s'écrivent évidement comme somme de puissances différentes de 3, c'est à dire que si on les écrit en base 3, il ne s'écrivent qu'avec des 0 et des 1 (et pas de 2).
De plus, le chiffre des unités (en base 3) est forcément 0 vu qu'on ajoute que des 3^k avec k>=1.
Réciproquement, tout les entiers dont l'écriture en base 3 ne contient que des 0 et des 1 et dont le dernier chiffre est un 0 vont évidement apparaitre parmi les exposant de tes développements.

1) Quel est le coeff. devant un x puissance un tel exposant ?
2) Comment déterminer quel sera le 1996 nombre ayant les propriétés susdites ?

[Robic]

Oui mais là tu parles des exposants, pas des numéros de coefficients, si ?

Dans l'écriture du polynôme, a_1996 n'est pas le coefficient de x^1996 (ni bien sûr le coefficient de plus haut degré), mais le coefficient du monôme n° 1996 (en comptant à partir de 0).

[t.itou29]

Salut,
je ne comprend pas trop quel raisonnement vous faîtes pour en déduire que le 1996-ème terme non nul du polynôme est le terme de plus haut degré (et quand je dit que je ne comprend pas... je me comprend...)

Vous voulez pas juste jeter un petit coup d'oeil "à la main" dans le cas où on remplace les deux occurrences de 1996 dans l'énoncé par.... mettons 2...

P.S. on peut tout à fait calculer et

Ah oui effectivement ! Je me disais bien que j'avais pas compris un truc ! C'est nettement plus intéressant, je vais réfléchir dessus demain

[Ben314]

Oui mais là tu parles des exposants, pas des numéros de coefficients, si ?

Dans l'écriture du polynôme, a_1996 n'est pas le coefficient de x^1996 (ni bien sûr le coefficient de plus haut degré), mais le coefficient du monôme n° 1996 (en comptant à partir de 0).

Je parle... des deux... :

Les exposants sont trés précisément les entiers qui, écrits en base 3 ne contienent que des 0 et des 1 et se termine par un 0. Il faut donc déterminer quel est le 1996em entier ayant cette propriété : c'est le point 2) du précédent post.

Et, évidement, il faut déterminer le coeff qui apparait devant le x^{cet exposant} : c'est le point 1) du précédent post.

P.S. l'exposant en question, c'est ...

[Robic]

Essayons avec ma méthode.

ATTENTION : NE LISEZ PAS SI VOUS NE VOULEZ PAS CONNAÎTRE UNE SOLUTION (sous réserve qu'elle soit juste...)

(Dans un premier temps j'avais mis tout le texte en blanc, mais les formules en Latex restent en noir du coup j'ai laissé tomber...)

...
...
...
...
...

ÇA COMMENCE, NE LISEZ PAS SI etc. etc.

Au début on a , les coefficients sont donc 1 (le n°0) et 1 (le n°1).

Je note L1 la liste des coefficients. L1 a 2 éléments : 1 et 1.

L2 a 4 éléments et L2 = L1 | 2 L2 (où je note « | » l'opérateur de concaténation de listes).
L3 a 8 éléments et L3 = L2 | 3 L2.
L4 a 16 éléments et L4 = L3 | 4 L3.
L5 a 32 éléments et L5 = L4 | 5 L4.
L6 a 64 éléments et L6 = L5 | 6 L5.
L7 a 128 éléments et L7 = L6 | 7 L6.
L8 a 256 éléments et L8 = L7 | 8 L7.
L9 a 512 éléments et L9 = L8 | 9 L8.
L10 a 1024 éléments et L10 = L9 | 10 L9.
L11 a 2048 éléments et L11 = L10 | 11 L10.

Le coefficient 1996 figure dans la 2è moitié de la liste L11.

Voyons la deuxième moitié de L11 de plus près :
- Son 1er élément est , qui vaut 11 x .
- Son 2ème élément est , qui vaut 11 x .
- Donc = 11 x .

figure dans la deuxième moitié de L10.
- Le 1er élément de la deuxième moitié de L10 est , qui vaut 10 x .
- Et vaut 10 x .

figure dans deuxième moitié de L9.
- Le 1er élément de la deuxième moitié de L9 est , qui vaut 9 x .
- Et vaut 9 x .

Et ainsi de suite :
- Dans L8, = 8 x .
- Dans L7, = 7 x .
- Dans L4, = 4 x .
- Dans L3, = 3 x .
Et on sait que = 1.

Finalement :
= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 4 x 3 = 665280.

C'est lié à l'écriture de 1996 en base 2, qui est : .

Donc je crois que ça marche de la façon suivante :
- Soit N le numéro de coefficient qu'on cherche (par exemple N = 1996).
- On décompose N en base 2 : où p(N) est le plus grand chiffre de N (c'est la partie entière de ) et vaut 0 ou 1 (chiffre en base 2).
- Alors .

Exemple : calculons .
- .
- Donc = 7 x 6 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1008.

Vérifions... 111 figure en deuxième moitié de la liste L7 et vaut 7 x , que j'avais calculé dans mon message précédent : = 144. Donc = 7 x 144 = 1008. OK ça colle.

Par ailleurs, d'après ce qu'a expliqué Ben314, l'exposant devrait être le nombre obtenu en base 3 avec les mêmes chiffres. Par exemple avec 1996 : = 264735. Pile poil ! Donc .

Il resterait à faire les démonstrations rigoureuses. Sûrement par récurrence.

Bref, une fois qu'on a compris le truc, ça semble assez simple. L'intérêt de mon intervention est surtout que j'ai réfléchi tout haut, ça peut peut-être aider à voir comment on s'y prend pour chercher une solution lorsqu'on n'a pas le pouvoir d'abstraction de certains... :lol3: (Il faut essayer avec un N petit pour voir comment ça se comporte. C'est ainsi par exemple qu'on voit la liste des coefficients se construire au fur et à mesure, et qu'on voit que le nombre d'éléments de cette liste suit les puissances de 2.)

[t.itou29]

Essayons avec ma méthode.

ATTENTION : NE LISEZ PAS SI VOUS NE VOULEZ PAS CONNAÎTRE UNE SOLUTION (sous réserve qu'elle soit juste...)

(Dans un premier temps j'avais mis tout le texte en blanc, mais les formules en Latex restent en noir du coup j'ai laissé tomber...)

...
...
...
...
...

ÇA COMMENCE, NE LISEZ PAS SI etc. etc.

Au début on a , les coefficients sont donc 1 (le n°0) et 1 (le n°1).

Je note L1 la liste des coefficients. L1 a 2 éléments : 1 et 1.

L2 a 4 éléments et L2 = L1 | 2 L2 (où je note « | » l'opérateur de concaténation de listes).
L3 a 8 éléments et L3 = L2 | 3 L2.
L4 a 16 éléments et L4 = L3 | 4 L3.
L5 a 32 éléments et L5 = L4 | 5 L4.
L6 a 64 éléments et L6 = L5 | 6 L5.
L7 a 128 éléments et L7 = L6 | 7 L6.
L8 a 256 éléments et L8 = L7 | 8 L7.
L9 a 512 éléments et L9 = L8 | 9 L8.
L10 a 1024 éléments et L10 = L9 | 10 L9.
L11 a 2048 éléments et L11 = L10 | 11 L10.

Le coefficient 1996 figure dans la 2è moitié de la liste L11.

Voyons la deuxième moitié de L11 de plus près :
- Son 1er élément est , qui vaut 11 x .
- Son 2ème élément est , qui vaut 11 x .
- Donc = 11 x .

figure dans la deuxième moitié de L10.
- Le 1er élément de la deuxième moitié de L10 est , qui vaut 10 x .
- Et vaut 10 x .

figure dans deuxième moitié de L9.
- Le 1er élément de la deuxième moitié de L9 est , qui vaut 9 x .
- Et vaut 9 x .

Et ainsi de suite :
- Dans L8, = 8 x .
- Dans L7, = 7 x .
- Dans L4, = 4 x .
- Dans L3, = 3 x .
Et on sait que = 1.

Finalement :
= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 4 x 3 = 665280.

C'est lié à l'écriture de 1996 en base 2, qui est : .

Donc je crois que ça marche de la façon suivante :
- Soit N le numéro de coefficient qu'on cherche (par exemple N = 1996).
- On décompose N en base 2 : où p(N) est le plus grand chiffre de N (c'est la partie entière de ) et vaut 0 ou 1 (chiffre en base 2).
- Alors .

Exemple : calculons .
- .
- Donc = 7 x 6 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1008.

Vérifions... 111 figure en deuxième moitié de la liste L7 et vaut 7 x , que j'avais calculé dans mon message précédent : = 144. Donc = 7 x 144 = 1008. OK ça colle.

Par ailleurs, d'après ce qu'a expliqué Ben314, l'exposant devrait être le nombre obtenu en base 3 avec les mêmes chiffres. Par exemple avec 1996 : = 264735. Pile poil ! Donc .

Il resterait à faire les démonstrations rigoureuses. Sûrement par récurrence.

Bref, une fois qu'on a compris le truc, ça semble assez simple. L'intérêt de mon intervention est surtout que j'ai réfléchi tout haut, ça peut peut-être aider à voir comment on s'y prend pour chercher une solution lorsqu'on n'a pas le pouvoir d'abstraction de certains... :lol3: (Il faut essayer avec un N petit pour voir comment ça se comporte. C'est ainsi par exemple qu'on voit la liste des coefficients se construire au fur et à mesure, et qu'on voit que le nombre d'éléments de cette liste suit les puissances de 2.)

Merci de ta reponse détaillée, j'ai bien compris la partie avec la liste mais un peu moins celle avec l'écriture en base 2 que je n'ai jamais utilisée (je vais me pencher dessus pour essayer de comprendre). En tout cas j'irai pas jusqu'à dire que ça "semble assez simple" ! Même si j'avais bien compris l'énoncé dès le depart :marteau: je crois que je me serais arrêté aux 64 premiers coefficients sans voir de lien. Ce problème fait parti du premier chapitre d'un livre qui est consacré à apprendre à émettre des conjectures, repérer des liens... je crois que ça va m'être utile !

[chan79]

L'intérêt de mon intervention est surtout que j'ai réfléchi tout haut, ça peut peut-être aider à voir comment on s'y prend pour chercher une solution lorsqu'on n'a pas le pouvoir d'abstraction de certains... :lol3: (Il faut essayer avec un N petit pour voir comment ça se comporte. C'est ainsi par exemple qu'on voit la liste des coefficients se construire au fur et à mesure, et qu'on voit que le nombre d'éléments de cette liste suit les puissances de 2.)

Salut et bravo pour tes explications détaillées.
On peut vérifier assez facilement le résultat avec un tableur.
Colonne A: on met 1 et 1 (a1 correspond à la ligne 2)
Colonne B: on recopie la colonne A et en dessous, on met la colonne A, multipliée par 2.
Colonne C: on recopie la colonne B et en dessous, on met la colonne B, multipliée par 3.
Colonne D: on recopie la colonne C et en dessous, on met la colonne C, multipliée par 4.
etc.. on va jusqu'à la colonne K.
Il suffit de savoir recopier une formule vers le bas.
a1 est à la ligne 2.
a2 est à la ligne 3
...
Le résultat 665280 est à la ligne 1997.



On peut faire de même pour les exposants.

[Ben314]

Il resterait à faire les démonstrations rigoureuses. Sûrement par récurrence.

Non, il n'y a pas besoin de récurrence.
Par définition, les exposant sont les entiers de la forme avec et le coeff. associé est .
Les exposants sont donc les nombres qui, en base 3, s'écrivent uniquement avec des 0 et des 1 (et pas de 2) et qui se terminent par un 0 (car )
Pour avoir et , il suffit de trouver quel est le j-ième tel entier.
Or, il y a une bijection évidente entre les nombres de ce types et les entiers {1,2,3,...} : si on a un nombre A de ce type, on l'écrit en base 3, on enlève le 0 de la fin et on regarde l'écriture en question comme celle d'un nombre f(A) en base 2.

Comme la bijection est clairement croissante pour savoir quel est le le j-ième exposant, il suffit de calculer . Par exemple, pour en base 2, on aura en base 3 (avec un zéro de plus) c'est à dire et donc .

Arrivé à ce point, on peut constater que, si on ne cherche que la valeur de et pas celle de il n'était pas vraiment utile de passer par la base 3 vu que les nombres 3,4,7,8,9,10,11 étaient tout aussi facilement "lisible" sur l'écriture de en base 2 que sur l'écriture de en base 3 (et pour cause...)

Conclusion : si (écriture en base 2, c'est à dire avec les distincts) alors et

P.S. Je trouve ça pas mal que Robic ait trouvé la soluce sans passer par la base 3 (des exposants)... :lol3:

[Robic]

Ce problème fait parti du premier chapitre d'un livre qui est consacré à apprendre à émettre des conjectures, repérer des liens... je crois que ça va m'être utile !

Par curiosité, c'est quoi, ce livre ?

[t.itou29]

Par curiosité, c'est quoi, ce livre ?

C'est "the art and craft of problem solving" de Zeitz. Je trouve pas mal qu'un chapitre soit consacré aux conjectures(je me suis mal exprimé dans le message precedent il n'y qu'un chapitre consacré aux conjectures les autres sont consacrés aux techniques/astuces/outils). Les problèmes dans ce chapitres ne sont pas fait pour être résolus entièrement mais juste émettre une conjecture qui sera prouvée lorsque les outils nécessaires auront été exposés dans la suite du livre. D'ailleurs il y a un problème qui m'intrigue, en résumé c'est: tout nombre>4 peut-il être écrit de la forme avec ? Par exemple . J'ai essayé jusqu'à 9 ça marche mais pour une preuve générale (si c'est vrai) je sèche.

[Ben314]

Salut,
LA astuce, c'est de calculer ça :

Ce qui montre que, si on y arrive pour 0,1,2 et 3, ben on y arrivera pour les autres entiers...

[t.itou29]

Salut,
LA astuce, c'est de calculer ça :

Ce qui montre que, si on y arrive pour 0,1,2 et 3, ben on y arrivera pour les autres entiers...

L'expression est égale à 4 et tout entier n peut s'écrire n=4k+r avec r=0,1,2 ou 3 c'est ça ?
J'ai toujours du mal avec les exos à astuce...

[Ben314]

L'expression est égale à 4 et tout entier n peut s'écrire n=4k+r avec r=0,1,2 ou 3 c'est ça ?
J'ai toujours du mal avec les exos à astuce...

oui, c'est bien ça.

Et moi, c'est avec les exos "sans astuces" que j'ai du mal... :marteau: