Eclairement

[Proriko]

Bonsoir j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît

Une propriété est donnée avec l'énoncé :
Lorsqu'un point M est situé à une distance d d'une source lumineuse de puissance P, l'intensité de l'éclairement en grand M est proportionnel à (P/d²).

A et B sont deux sources lumineuses de puissances respectives p et 8p.M est un point de [AB],distinct de A et B.On pose AB= l et AM=x avec 0
1°/ Montrer que l'intensité de l'éclairement en M est proportionnel à (P/x²)+(P/(l-x)²)
2°/ Pour quels points M de [AB] cette intensité est minimale ?

Je ne vois pas comment m'y prendre du tout..

[Fred_Sabonnères]

Bonsoir
Pour le 1°/, est-ce que ce ne serait pas proportionnel à (P/x²)+(8P/(l-x)²) ?

[Proriko]

Oups c'est exact je me suis trompé

[Proriko]

je peux dire que l'intensité de l'éclairement en M est égal à celle par rapport à A et celle par rapport à B
Soit A = p/x² et B = 8p/(l-x)² ave (l-x) égal ) la distance entre B et M

[Proriko]

Pour la suite il faut la dérivé je suppose?
Comment justifier que cette fonction f est dériveable?

f'(x)=-2p/x^3 + (8p/(l-x)^3)

[Proriko]

Comment dériver 8p/(l-x)² ?

[Fred_Sabonnères]

Comment dériver 8p/(l-x)² ?

[paquito]

tu peux utiliser (1/u)'=-u'/u² en écrivant 8p/(1-x)²=8p(1/(1-x)²) et (u²)'=2u'u pour dériver (1-x)².

[Proriko]

Bonsoir désolé de ne pas avoir répondu plus tot mais j'en suis arrivé là:
J'ai trouvé la dérivé que j'ai modifié pour avoir f'(x)=[-2(l-x)^3+16x^3] / [x^3(l-x)^3]

J'ai factorisé le dénominateur en 2[(2x)^3-(l-x)^3]
Soit 2[2x-(l-x)(2x²+2x*(l-x)+(l-x)²] mais je ne sais pas comment avancé

[paquito]

Je te confirme ton calcul et je te donnes un petit coup de pouce pour t'en sortir.

f(x)=p/x²+8p/(1-x)2=p(1/x²)+8p(1/(1-x)², f'(x)=p(-2x/x^4)+8p(2(1-x)/(1-x)^4)=p((-2/x^3)+16/(1-x)^3)=p(-2(1-x)^3+16x^3)/((x^3)(1-x)^3).
-2(1-x)^3+16x^3=0<=> 16x^3=2(1-x)^3<=>((1-x)/x)^3=1/8<=> x=1/3

[Proriko]

C'est un peu incompréhensible mais merci de votre aide.
Mais vous n'avez pas repris le calcul de là où j'en étais?

[paquito]

C'est un peu incompréhensible mais merci de votre aide.
Mais vous n'avez pas repris le calcul de là où j'en étais?

j'ai refais le calcul de la dérivée et je trouve la même chose que toi; ensuite le signe de la dérivée ne dépend que de -2x^3+16(1-x)^3, or:

-2(1-x)^3+16x^3>0 16x^3>2(1-x)^3x^3/(1-x)^3>1/8(x/(1-x))^3>(1/2)^3x/(1-x)>1/2

2x>1-xx>1/3. Tout ce est justifié car la fonction x^3 est strictement croissante et que x et 1-x sont positifs

[Proriko]

Mais moi j'en suis arrivé à ça:

2[2x-(l-x)(2x²+2x*(l-x)+(l-x)²]

[paquito]

Mais moi j'en suis arrivé à ça:

2[2x-(l-x)(2x²+2x*(l-x)+(l-x)²]

Tu ne pourras pas t'en sortir avec ça; ma solution est toute simple (elle repose finalement sur a^3/b^3=(a/b)^3 et sur le fait que x>0 et 1-x>0.

[Proriko]

En fait le professeur nous a guidé sur cette piste

[paquito]

Le problème est de trouver une solution simple. Si tu ne veux pas de ma méthode "simpliste", programme le graphe de Y =1/X²+8/(1-X)² sur [0; 1] avec Y compris entre 0 et 100 et tu verras que le minimum est atteint pour x=1/3 et vaut 27;
sinon, si tu développes le numérateur (le dénominateur>0 ne sert à rien!), tu auras un vilain polynôme de degré 3 et tu t'en sortiras que si tu arrives à mettre(x-1/3) en facteur! Bonne nuit!

[Proriko]

En fait c'est pas que je ne veux pas de votre méthode car c'est vrai qu'lle est simpliste et c'est ce que j'aurai fais , mais le professeur nous as lancé sur l'autre piste et je ne comprend vraiment pas pourquoi

[chan79]

En fait c'est pas que je ne veux pas de votre méthode car c'est vrai qu'lle est simpliste et c'est ce que j'aurai fais , mais le professeur nous as lancé sur l'autre piste et je ne comprend vraiment pas pourquoi

salut
tu as choisi de factoriser (2x)³-(l-x)³
avec a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
(2x-(l-x))[(2x)²+2x(l-x)+(l-x)²]
(3x-l)(4x²+2xl-2x²+l²-2xl+x²)
(3x-l)(3x²+l²)
le second facteur ne peut pas s'annuler et donc la dérivée est nulle si 3x=l ou x=l/3
L'autre méthode proposée est plus directe