Retourner le compas

[Imod]

Bonjour à tous :zen:

Certains se souviennent peut-être de ce problème d'aiguille . Voici une version légèrement différente avec un compas ( sûrement plus simple ) .

On place la pointe et le crayon d'un compas sur deux nœuds d'un quadrillage illimité à mailles carrées puis on bloque définitivement l'écart entre les branches du compas . On déplace ensuite la pointe ou le crayon du compas vers un nouveau nœud du quadrillage ( l'autre extrémité restant en place ) et on réitère l'opération autant de fois que l'on veut .

Est-il possible de ramener le compas à sa position initiale , la pointe ayant pris la place du crayon et réciproquement ?

Amusez-vous bien :zen:

Imod

[Ben314]

Salut,
Si je me suis pas gourré, quelque soit la disposition de départ, c'est impossible...

[nodjim]

On crée une trame de points, sous ensemble de la trame d'origine, dont les noeuds sont tantôt pointe tantôt crayon. Les "pointes" sont alignées horizontalement et verticalement, idem pour les "crayons". Ce sont 2 trames indépendantes entrelacées. Une pointe ne peut aboutir à un crayon et vice versa.

[Ben314]

Bon, je donne ma soluce...

On considère qu'au départ, la pointe est en (0,0) et le crayon en (a,b) (dans Z²)

Le premier truc à regarder, c'est les autres points sur lesquels on peut mettre le crayon en gardant la pointe sur place :
Ce sont évidement les (u,v) de Z² tels que u²+v²=a²+b².
Or, la connaissance de a (et b) modulo 2 nous donne la valeur de a² (et b²) modulo 4 :


Donc :

1) Si a et b sont pairs alors toutes les solutions de u²+v²=a²+b² seront telles que u et v seront pairs donc on restera systématiquement sur des cases de coordonnées paire et donc... on peut prendre un quadrillage avec des mailles carrés de coté deux fois plus grand (et on réitère si a/2 et b/2 sont encore pair...)

2) Si a+b est impair (i.e. un pair et un impair) alors toute les solutions de u²+v²=a²+b² sont telles que u+v est impair.
Donc, si à un moment, la pointe est en (x,y) et le crayon en (x',y'), vu que u=x'-x et v=y'-y sont solution de u²+v²=a²+b², c'est que x'-x+y'-y est impair.
Si on déplace le crayon en (x",y") alors, de même, u=x"-x et v=y"-y seront solution de u²+v²=a²+b² donc x"-x+y"-y sera impair ce qui signifie que x"-x'+y"-y' est pair, c'est à dire que x'+y' et x"+y" ont même parité.
Bilan : le crayon restera toujours sur des points (x,y) tels que x+y a la même parité que a+b (donc impair) et ne peut pas se retrouver à la position (0,0) de départ de la pointe.

3) Si a et b sont impairs alors toute les solutions de u²+v²=a²+b² sont telles que u et v soient impair.
Donc, si à un moment, la pointe est en (x,y) et le crayon en (x',y'), vu que u=x'-x et v=y'-y sont solution de u²+v²=a²+b², c'est que x'-x et y'-y sont impair.
Si on déplace le crayon en (x",y") alors, de même, u=x"-x et v=y"-y seront solution de u²+v²=a²+b² donc x"-x et y"-y seront impair ce qui signifie que x"-x' et y"-y' sont pairs, c'est à dire que x" a la même parité que x' et que y" a la même parité que y'.
Bilan : le crayon restera toujours sur des points (x,y) tels que x a la même parité que a (donc impair) et y la même parité que b (donc aussi impair) et ne peut pas se retrouver à la position (0,0) de départ de la pointe.

[Imod]

Oui Ben :zen:

J'avais commencé à chercher dans cette voie sans aboutir :++:

Imod